层级快练(六十五)1．已知a，b满足2a＋3b＝1，则直线4x＋ay－2b＝0必过的定点为()A．(，)B．(，－)C．(，)D．(，－)答案D解析 2a＋3b＝1，又由4x＋ay－2b＝0，得－a＋b＝1，∴∴选D.2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则＋＝________．答案3．已知曲线C：y2＝2px(p>0)．O为原点，A，B是C上两个不同点，且OA⊥OB，则直线AB过定点________．答案(2p，0)4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：x12＋x22为定值，并求该定值．答案(1)＋y2＝1(2)4解析(1)依题意，c＝，而e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于·＝－，则x1x2＝－4y1y2，x12x22＝16y12y22.而＋y12＝1，＋y22＝1，则1－＝y12，1－＝y22，∴(1－)(1－)＝y12y22，则(4－x12)(4－x22)＝16y12y22，(4－x12)(4－x22)＝x12x22，展开，得x12＋x22＝4为一定值．5．(2017·课标全国Ⅰ，理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．答案(1)＋y2＝1(2)定点(2，－1)解析(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点．又由＋>＋知，C不经过点P1，所以点P2在C上，因此解得故C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为(t，)，(t，－)．则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1得1(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0，即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．6．(2018·湖南师大附中月考)如图，抛物线C1：y2＝8x与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|＝5.(1)求双曲线C2的方程；(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：(x－2)2＋y2＝1，已知点P(1，)，过点P作互相垂直且分别与圆M，圆N相交的直线l1，l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，试探索是否为定值？请说明理由．答案(1)x2－＝1(2)定值解析(1) 抛物线C1：y2＝8x的焦点为F2(2，0)，∴双曲线C2的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．设A(x0，y0)(x0>0，y0>0)为抛物线C1和双曲线C2在第一象限的交点，且|AF2|＝5，由抛物线的定义得x0＋2＝5，∴x0＝3，∴|AF1|＝＝7.又 点A在双曲线上，由双曲线的定义得2a＝|AF1|－|AF2|＝7－5＝2，∴a＝1.∴b＝＝.∴双曲线C2的方程为x2－＝1.(2)为定值．理由如下：设圆M的方程为(x＋2)2＋y2＝r2，双曲线的渐近线方程为y＝±x. 圆M与渐近线y＝±x相切，∴圆的半径为r＝＝，故圆M：(x＋2)2＋y2＝3.依题意l1，l2的斜率存在且均不为零，∴设l1的方程为y－＝k(x－1)，即kx－y＋－k＝0，l2的方程为y－＝－(x－1)，即x＋ky－k－1＝0，∴点M到直线l1的距离d1＝，点N到直线l2的距离d2＝.∴直线l1被圆M截得的弦长s＝2＝2，直线l2被圆N截得的弦长t＝2＝2.∴＝＝，故为定值.7．(2018·辽宁盘锦一中月考)如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，斜率为的直线交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点互不重合．2(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．答案(1)＋＝1(2)定值为0解析(1)由题意，可得e＝＝，将A(1，)代入椭圆C的方程，得＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝c＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线BD的方程为y＝x＋m， A，B，D三点不重合，∴m≠0，设D(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝－8m2＋64>0，得－2
