高考数学二轮复习 中档大题规范练4 数列 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

(四)数列1．(2017·全国Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2，得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6.②联立①和②，解得(舍去)，因此{bn}的通项公式bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.2．(2017·河北省衡水中学二模)已知数列{an}满足a1＝1，＝＋2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设以2为公比的等比数列{bn}满足4log2bn·log2bn＋1＝an＋12n＋11(n∈N*)，求数列{bn－log2bn}的前n项和Sn.解(1)由题意知，数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴＝2＋2(n－1)＝2n，故an＝4n2－3.(2)设等比数列{bn}的首项为b1，则bn＝b1×2n－1，依题意有4log2bn·log2bn＋1＝4log2(b1×2n－1)·log2(b1×2n)＝4(log2b1＋n－1)(log2b1＋n)＝4(log2b1)2－4log2b1＋4×(2log2b1－1)n＋4n2＝4n2＋12n＋8，即解得log2b1＝2，b1＝4，故bn＝4×2n－1＝2n＋1.∵bn－log2bn＝2n＋1－(n＋1)，∴Sn＝－＝2n＋2－4－.3．(2017届辽宁省锦州市质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S6＝9S3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋log2an，求数列{anbn}的前n项和．解(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，S6＝9S3知，q≠1，故＝，即(1－q3)(1＋q3)＝9(1－q3)，即1＋q3＝9，即q3＝8，解得q＝2，则an＝a1·qn－1＝2n－1.(2)bn＝1＋log2an＝1＋log22n－1＝1＋n－1＝n，∴anbn＝n·2n－1，∴Tn＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1，①2Tn＝1·2＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②由②－①，得Tn＝n·2n－(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝n·2n－(2n－1)＝(n－1)·2n＋1.4．(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，a3＝9，且an＝an－1＋λn－1(n≥2，n∈N*)．(1)求λ的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n(an＋n)，且数列{bn}的前2n项和为S2n，求S2n.解(1)∵a1＝1，a3＝9，且an＝an－1＋λn－1(n≥2，n∈N*)，∴a2＝2λ，a3＝5λ－1＝9，解得λ＝2，∴an－an－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)．∴an＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2.(2)bn＝(－1)n(an＋n)＝(－1)n(n2＋n)，b2n－1＋b2n＝－[(2n－1)2＋(2n－1)]＋[(2n)2＋2n]＝4n，S2n＝4×＝2n2＋2n.5．(2017·湖南省衡阳市联考)已知在数列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写出结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，不等式t2－2t＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．解(1)a2＝6，a3＝12，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－.∵bn＋1－bn＝－－＝＋－＝－＝<0，∴bn＋1bn⇔t2－2t＋>⇔t2－2t>0⇔t<0或t>2，∴t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．