曲线与方程1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.方程y＝与x＝y2表示同一曲线吗？提示不是同一曲线.2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.1．（2019•北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③【答案】C【解析】将换成方程不变，所以图形关于轴对称，当时，代入得，，即曲线经过，；当时，方程变为，所以△，解得，，所以只能取整数1，当时，，解得或，即曲线经过，，根据对称性可得曲线还经过，，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当时，由得，（当时取等），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过；故②正确．在轴上图形面积大于矩形面积，轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③错误．故选．2．（2020•山东）已知曲线．A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，，则是两条直线【答案】ACD【解析】．若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；．若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；．若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，故正确；．当，时，则方程为表示两条直线，故正确；故选．3．（2018•上海）已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为__________．【答案】【解析】平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，满足椭圆的定义，可得，，则，动点的轨迹方程为：．故答案为：．1．（2020•静安区二模）方程的曲线所满足的性质为①不经过第二、四象限；②关于轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称．A．①③B．②③C．①④D．①②【答案】A【解析】由题意，化为：，说明，同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限；①正确．换，方程发生改变，所以图形不关于轴对称，所以②不正确；以代替，以代替，方程不变，所以③正确；方程，，互换，方程化为：，方程已经改变；所以④不正确；故选．2．（2020•宁德模拟）方程：的曲线有下列说法：①该曲线关于对称；②该曲线关于点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A．②③B．①④C．②④D．①③【答案】D【解析】将方程整理可得，令将换成时，即，所以，所以曲线关于对称，所以①正确，②不正确；当时，，所以该曲线不经过第三象限，故③正确，曲线过的整数点，，，三个整数点，故④不正确，故选．3．（2020•吴兴区校级模拟）已知且，则的取值范围为A．，，B．，，C．D．【答案】A【解析】令，则，由，得，即，则，即，解得或．的取值范围为，，．故选．4．（2020•麒麟区校级二模）已知点，，若点在曲线上运动，则面积的最小值为A．6B．C．3D．【答案】C【解析】依题意，，直线的方程为，曲线表示单位圆的下半部分，要使面积的最小，则需点到直线的距离最小，不妨设，，点到直线的距离为，，，，．故选．5．（2019•西城区一模）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为A．B．3C．D．4【答案】B【解析】曲线围成的平面区域，关于，轴对称，设曲线上的点，可得．所以曲线围成的平面区域的直径为：3．故选．6．（2019•闵行区校级模拟）方程所表示的曲线的长...
