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高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第2课时分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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第5讲椭圆第2课时一、选择题1.设P是椭圆+=1上一点,M,N分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值和最大值分别为()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12解析:选C.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2R=8;连接PA,PB并延长,分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为8,12.2.设A1、A2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得kPA1·kPA2>-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.(,1)D.(,1)解析:选C.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(-a,0)、A2(a,0),设P(x0,y0),根据题意,kPA1·kPA2=>-,而+=1,所以a2-x=,于是<,即<,1-e2<,所以e>,又e<1,故b>0),A,B分别是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若|k1·k2|=,则椭圆的离心率为________.1解析:设M(x0,y0),则N(x0,-y0),|k1·k2|=====,从而e==.答案:6.已知椭圆C:+y2=1,过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为-的直线分别与椭圆交于点M,N,则直线MN恒过的定点为________.解析:直线MN过定点D.当直线MN的斜率存在时,设MN:y=kx+m,代入椭圆方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.根据已知可知·=-,即4y1y2+(x1-2)(x2-2)=0,即(1+4k2)x1x2+(4km-2)(x1+x2)+4m2+4=0,所以(1+4k2)·+(4km-2)+4m2+4=0,即(4km-2)(-8km)+8m2(1+4k2)=0,即m2+2km=0,得m=0或m=-2k.当m=0时,直线y=kx经过定点D(0,0).由于AM,AN的斜率之积为负值,故点M,N在椭圆上位于x轴两侧,直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部,而当m=-2k时,直线y=kx-2k过定点(2,0),故不可能.当MN的斜率不存在时,点M,N关于x轴对称,此时AM,AN的斜率分别为,-,此时M,N恰为椭圆的上下顶点,直线MN也过定点(0,0).综上可知,直线MN过定点D(0,0).答案:(0,0)三、解答题7.已知点M是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C异于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.解:(1)在△F1MF2中,由|MF1||MF2|sin60°=,得|MF1||MF2|=.由余弦定理,得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cos60°=(|MF1|+|MF2|)2-2|MF1||MF2|·(1+cos60°),解得|MF1|+|MF2|=4.从而2a=|MF1|+|MF2|=4,即a=2.由|F1F2|=4得c=2,从而b=2,故椭圆C的方程为+=1.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则其方程为y+2=k(x+1),由得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.从而k1+k2=+==2k-(k-4)·=4.当直线l的斜率不存在时,可得A(-1,),B(-1,-),得k1+k2=4.综上,k1+k2为定值.28.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的...

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