第5讲椭圆第2课时一、选择题1．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为()A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12解析：选C．如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12．2．设A1、A2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1·kPA2>－，则该椭圆的离心率的取值范围是()A．(0，)B．(0，)C．(，1)D．(，1)解析：选C．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(－a，0)、A2(a，0)，设P(x0，y0)，根据题意，kPA1·kPA2＝>－，而＋＝1，所以a2－x＝，于是<，即<，1－e2<，所以e>，又e<1，故b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________．1解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝，从而e＝＝．答案：6．已知椭圆C：＋y2＝1，过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为－的直线分别与椭圆交于点M，N，则直线MN恒过的定点为________．解析：直线MN过定点D．当直线MN的斜率存在时，设MN：y＝kx＋m，代入椭圆方程得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．根据已知可知·＝－，即4y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，即(1＋4k2)x1x2＋(4km－2)(x1＋x2)＋4m2＋4＝0，所以(1＋4k2)·＋(4km－2)＋4m2＋4＝0，即(4km－2)(－8km)＋8m2(1＋4k2)＝0，即m2＋2km＝0，得m＝0或m＝－2k．当m＝0时，直线y＝kx经过定点D(0，0)．由于AM，AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m＝－2k时，直线y＝kx－2k过定点(2，0)，故不可能．当MN的斜率不存在时，点M，N关于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为，－，此时M，N恰为椭圆的上下顶点，直线MN也过定点(0，0)．综上可知，直线MN过定点D(0，0)．答案：(0，0)三、解答题7．已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．解：(1)在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin60°＝，得|MF1||MF2|＝．由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|·(1＋cos60°)，解得|MF1|＋|MF2|＝4．从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2．由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，故椭圆C的方程为＋＝1．(2)证明：当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)·＝4．当直线l的斜率不存在时，可得A(－1，)，B(－1，－)，得k1＋k2＝4．综上，k1＋k2为定值．28．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的...
