基本不等式1．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(D)A．x＋≥2B．x＋≤－2C.≥D．|x＋|≥2因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－(－x＋)≤－2，所以A，B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a1，即v>a.3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(C)A.B．2C．2D．4由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(B)A．3B．4C.D.利用基本不等式，x＋2y＝8－x·(2y)≥8－()2，整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4.当且仅当x＝2，y＝1时取等号．5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为.因为a－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6.所以2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3b时，取“＝”，即2a＋取得最小值，结合a－3b＋6＝0，知此时a＝－3，b＝1.6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为20(m)．设矩形的高为y(m)，面积为S(m2)，由三角形相似得＝，即x＋y＝40.所以S＝xy≤()2＝400，当且仅当x＝y＝20时等号成立．7．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1.(1)求＋的最小值；(2)求log2x＋log2y的最大值．(1)因为＋＝(＋)(4x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当＝，即x＝，y＝时，取“＝”．所以＋的最小值为9.(2)log2x＋log2y＝log2(xy)＝log2(·4x·y)≤log2[()2]＝log2＝－4，当且仅当4x＝y，即x＝，y＝时取“＝”．所以log2x＋log2y的最大值为－4.8．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若对任意x>2，不等式(x－a)x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是(C)A．[－1,7]B．(－∞，3]C．(－∞，7]D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)由题意可知，不等式(x－a)x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，即x－x2－a＋ax≤a＋2，所以a≤对x>2都成立，即a≤()min.由于＝(x－2)＋＋3≥2＋3＝7(x>2)，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a≤7.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知向量a，b满足：|a|＝|b|＝1且a·b＝，若c＝xa＋yb，其中x>0，y>0且x＋y＝2，则|c|的最小值是.因为|a|＝|b|＝1，a·b＝，所以|c|2＝x2＋y2＋2xya·b＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝4－xy≥4－()2≥3.当且仅当x＝y＝1时，取“＝”．所以|c|≥.10．某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)设铁栅长为x米，两侧砖墙长为y米，且x，y>0.顶部面积S＝xy，依题意得，400x＋900y＋200xy＝32000，由基本不等式得32000＝400x＋900y＋200xy≥2＋200xy＝1200＋200xy，即32000≥1200＋200S，即S＋6－160≤0，令t＝(t>0)，得t2＋6t－160≤0，即(t－10)(t＋16)≤0，所以0
