高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形应用举例高效演练分层突破 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第7讲解三角形应用举例[基础题组练]1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为()A.kmB.kmC.kmD．2km解析：选A.如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝，所以AC＝2×＝(km)．2．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5B．15C．5D．15解析：选D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为()A．7kmB．8kmC．9kmD．6km解析：选A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－，所以AC＝＝7.4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析：选C.因为tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)．6．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是nmile.解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝5(nmile)．答案：57.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84m，则塔高CD＝m.解析：设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝xm.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2·x2cos150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12m.答案：128．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为海里/小时．解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，＝，所以MN＝68×＝34(海里)．又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．答案：9．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？解：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB＝×15＝5(海里)，因为∠A＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，所以△ABC为等腰三角形，所以BC＝5.在△BCD中，因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5，所以CD＝，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．10．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，求山高MN.解：根据题意，AC＝100m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100m.在△AMN中，＝sin60°，所以MN＝100×＝150(m)．[综合题组练]1．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()A．30mB．60mC．30mD．40m解析：选B.在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(...