高考数学二轮复习 与直线和圆有关的最值问题专题检测（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

32与直线和圆有关的最值问题1．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．答案3解析依题意知，AB的中点M的集合是与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.2．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN的最小值是________．答案解析圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝.3．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．答案解析如图所示，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1.根据对称性可知四边形PACB面积等于2S△APC＝2×PA·r＝PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小，由于PA＝，故PC最小时，PA最小，此时，直线CP垂直于直线l：3x－4y＋11＝0，故PC的最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2，所以PA＝＝＝.故四边形PACB面积的最小值为.4．(2013·江西改编)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．答案－解析 S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝sin∠AOB≤.当∠AOB＝时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝.设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.由d＝＝，得k＝－.5．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．答案x＋y－2＝0解析由题意知，当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，所以直线OP垂直于x＋y－2＝0.6．已知Ω＝，直线y＝mx＋2m和曲线y＝有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈，则实数m的取值范围是________．答案[0,1]解析画出图形，不难发现直线恒过定点(－2,0)，圆是上半圆，直线过(－2,0)，(0,2)时，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，此时P(M)＝，当直线与x轴重合时，P(M)＝1，故直线的斜率范围是[0,1]．7．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．答案解析可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.故k的最大值是.8．直线l过点(0，－4)，从直线l上的一点P作圆C：x2＋y2－2y＝0的切线PA，PB(A，B为切点)，若四边形PACB面积的最小值为2，则直线l的斜率k为________．答案±2解析易知圆的半径为1，因为四边形PACB的最小面积是2，此时切线段长为2，圆心(0,1)到直线y＝kx－4的距离为，即＝，解得k＝±2.9．若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________．答案π解析 直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1.∴ab＝.又OA＝，∴以O为圆心，OA为半径的圆的面积为S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.10．与直线x－y－4＝0和圆A：x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆C的方程是________________________________________________________________________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上，故设其坐标为C(c，－c)，又其直径为圆A的圆心A(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离减去圆A的半径，即2r＝－＝2⇒r＝，即圆心C到直线x－y－4＝0的距离等于，故有＝⇒c＝3或c＝1，结合图形当c＝3时圆C在直线x－y－4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.11．已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一...