中档大题规范练(一)(建议用时：60分钟)1.(2018·河南六市联考)如图52，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2,2ccosC＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.图52(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积．[解](1)根据题意，b＝2，c＝4,2ccosC＝b，则cosC＝＝；又由cosC＝＝＝，可解得a＝4，即BC＝4，则CD＝2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcosC＝6，则AD＝.(2)根据题意，AE平分∠BAC，则＝＝，变形可得：CE＝BC＝，cosC＝，则sinC＝＝，S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝×2×2×－×2××＝.2.如图53所示，四棱锥PABCD的底面为矩形，已知PA＝PB＝PC＝PD＝BC＝1，AB＝，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于E.图53(1)试判定点E的位置，并加以证明；(2)求二面角EACD的余弦值．[解](1)E为PD的中点，证明如下：连接OE(图略)，因为PB∥平面AEC，平面PBD∩平面AEC＝OE，PB⊄平面AEC，所以PB∥OE，又O为BD的中点，所以E为PD的中点．(2)连接PO(图略)，因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC.因为PA＝PC，所以PO⊥AC.同理，得PO⊥BD，所以PO⊥平面ABCD，以O为原点，OP为z轴，过O平行于AD的直线为x轴，过O平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系(图略)．易知A，B，C，D，P，E，则OE＝，OA＝.显然，OP是平面ACD的一个法向量．设n1＝(x，y，z)是平面ACE的一个法向量，则即取y＝1，则n1＝(，1,2)，所以cos〈n1，OP〉＝＝，所以二面角EACD的余弦值为.3．(2018·衡水金卷三)我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响，把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为：风速不小于30米/秒的称为强台风，风速小于30米/秒的称为风暴，下表是2014年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计：强台风风暴东部沿海96西部沿海312图54(1)根据上表，计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关；(2)2017年8月23日，“天鸽”在深圳登陆，造成深圳特大风暴，如图54所示的茎叶图统计了深圳15块区域的风速．(十位数为茎，个位数为叶)①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25的概率；②任取3个区域进行统计，X表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X的分布列及数学期望E(X)．附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)2×2列联表如下：强台风风暴合计东部沿海9615西部沿海31215合计121830由2×2列联表中数据，可得K2的观测值K2＝＝＝5＜6.635，所以没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关．(2)①风速小于25的区域有7块，2块区域风速都小于25的概率为＝，故取到2个区域风速不都小于25的概率为1－＝.②达到强台风级别的区域有5块，故X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故随机变量X的分布列为X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.4．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1与曲线C2：(φ为参数，φ∈[0,2π))．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知点A是射线l：θ＝α(ρ≥0)与C1的公共点，点B是l与C2的公共点，当α在区间上变化时，求的最大值．[解](1)曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρsin＝.曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(2)由(1)知|OA|＝ρA＝，|OB|＝ρB＝4cosθ，∴＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝2＋2sin.由0≤α≤知≤2α＋≤，当2α＋＝，即α＝时，有最大值2＋2.[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋a2|，其中a∈R.(1)当a＝时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若存在x0∈R，使得f(x0)＜4a，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝时，f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＝所以f(x)≥6⇔或或，解得x≤－或x≥，因此不等式f(x)≥6的解集的.(2)f(x)＝|x－1|＋|x＋a2|≥|(x－1)－(x＋a2)|＝|a2＋1|＝a2＋1，且f(1)＝a2＋1，所以f(x)min＝a2＋1，所以存在x0∈R，使得f(x0)＜4a，等价于4a＞a2＋1，所以a2－4a＋1＜0，解得2－＜a＜2＋，所以实数a的取值范围是(2－，2＋)．
