专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量1．向量的加法运算符合平行四边形法则和三角形法则；向量的减法运算符合三角形法则．1．如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线向量e1，e2叫做基底．2．平面向量数量积的定义．已知两非零向量a，b，则a与b的数量积(或内积)为_|a||b|cos_θ，记作a·b＝|a||b|cos_θ，其中θ＝〈a，b〉，|b|cos_θ叫做向量b在向量a方向上的投影．3．两非零向量平行、垂直的充要条件．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0．(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(×)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(×)(4)△ABC中，D是BC中点，则AD＝(AC＋AB)．(√)(5)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)1．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则(B)A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝0解析：因为BC＋BA＝2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.2．(2014·新课标Ⅱ卷)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(A)A．1B．2C．3D．4解析：由已知得，a2＋2a·b＋b2＝10，a2－2a·b＋b2＝6，两式相减得，4a·b＝4，故a·b＝1.3．(2015·北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以当a·b＝|a||b|时，有cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0°，此时a，b同向，所以a∥b.反过来，当a∥b时，若a，b反向，则〈a，b〉＝180°，a·b＝－|a||b|；若a，b同向，则〈a，b〉＝0°，a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．4．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝(D)A．2B．3C．4D．5解析：试题分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)所以AD·AC＝2×3＋1×(－1)＝5，故选D.一、选择题1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(B)A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b解析：解法一由|a＋b|＝|a－b|，平方可得a·b＝0,所以a⊥b.故选B.解法二根据向量加法、减法的几何意义可知|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b.故选B.2.(2014·北京卷)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(A)A．(5，7)B．(5，9)C．(3，7)D．(3，9)解析：因为2a＝(4，8)，所以2a－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．故选A.3．设向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a－b)＝0，则a与b的夹角是(B)A．30°B．60°C．90°D．120°4．(2015·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(A)A．－B．－C.D.解析：c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.5．已知：OA＝(－3，1)，OB＝(0，5)，且AC∥OB，BC⊥AB，则点C的坐标为(B)A.B.C.D.解析：设点C(x，y)，AC＝OC－OA＝(x＋3，y－1)， AC∥OB，∴x＋3＝0.∴x＝－3.又BC＝OC－OB＝(x，y－5)，AB＝(3，4)，又 BC⊥AB，∴3x＋4(y－5)＝0.∴y＝.∴C.6．(2015·福建卷)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若P点是ΔABC所在平面内一点，且AP＝＋，PB·PC的最大值等于(A)A．13B．15C．19D．21解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B，C，AP＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P(1，4)，所以PB＝，PC＝(－1，t－4)，因此PB·PC＝1－－4t＋16＝17－，因为＋4t≥2＝4,所以PB·PC的最大值等于13，当＝4t，即t＝时取等号．二...
