第4节空间直线、平面的垂直[A级基础巩固]1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥mD⇒/l∥α，因为l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．答案：B2．(2020·武汉调研)已知两个平面相互垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直，故②正确；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；④在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD不垂直，故④错．答案：C3.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中直角三角形的个数为()A．4B．3C．2D．1解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，所以1BC⊥PA，因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以四面体P-ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC.故选A.答案：A4．(2020·青岛二中检测)如图所示，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确的是()A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC解析：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又AN⊂平面ABP，所以BC⊥AN，又因为AN⊥PB，BC∩PB＝B，所以AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以AN⊥PC，又因为PC⊥AS，AS∩AN＝A，所以PC⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，所以平面ANS⊥平面PBC，所以A正确，C，D显然正确.答案：B5．如图所示，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()ABCD解析：如图所示，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.2答案：D6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析：由定理可知，BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)7．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC的射影H必在直线________上．解析：因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．答案：AB8.(2020·青岛模拟)将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD＝BD＝，∠BAC＝30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是________(填序号)．①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为；②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D-ABC体积的最大值为.解析：如图所示，①中，取AB的中点O，连接DO，CO，因为AD＝BD＝，所以DO＝1，AB＝2，OC＝1.因为平面ABD⊥平面ABC，DO...
