高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

§5.3平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝；(4)cosθ＝；(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离AB＝|AB|＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)△ABC内有一点O，满足OA＋OB＋OC＝0，且OA·OB＝OB·OC，则△ABC一定是等腰三角形．(√)(4)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形．(×)(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(×)(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－或λ>0.(×)1．(2014·重庆改编)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝.答案3解析因为a＝(k,3)，b＝(1,4)，所以2a－3b＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k－3，－6)．因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝(2k－3，－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.2．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角＝.答案30°解析设向量a与向量a＋2b的夹角为θ. |a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴|a＋2b|＝2，a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ＝2×2cosθ＝4cosθ，又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴4cosθ＝6，cosθ＝， θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.3．在等腰△ABC中，底边BC＝4，则AB·BC＝.答案－8解析取BC的中点为D，连结AD，因为△ABC是等腰三角形，BC是底边，所以AD⊥BC，又BC＝4，则AB·BC＝(AD＋DB)·BC＝AD·BC＋DB·BC＝0－2×4＝－8.4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)的值为．答案－4解析由题意得，AP＝2，PM＝1，所以PA·(PB＋PC)＝PA·2PM＝2×2×1×cos180°＝－4.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2013·湖北改编)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为．(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为；DE·DC的最大值为．答案(1)(2)11解析(1)AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，∴AB在CD方向上的投影为＝＝＝.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE·DC的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1，当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.思维升华求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件．(1)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则的值为．(2)在△ABC中，若A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是．答案(1)－(2)解析(1)由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2...