高考数学大一轮复习 第十一章 坐标系与参数方程 第68讲 坐标系课时达标 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第68讲坐标系课时达标1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．解析由得到代入＋y2＝1得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．(2019·宝鸡中学期末)在以直角坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同的两点M，N，切点为T，求|TM|·|TN|的取值范围．解析(1)因为ρ2＝x2＋y2，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝1，所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，又y＝ρsinθ，所以ρ2－2ρsinθ＝0，即曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)设T(x0，y0)，y0∈(0,1]，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的参数方程为(t为参数)．联立C2的直角坐标方程得t2＋2(x0cosθ＋y0sinθ－sinθ)t＋1－2y0＝0，即由直线参数方程中，t的几何意义可知，|TM|·|TN|＝|1－2y0|，因为1－2y0∈[－1,1)，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．3．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解析因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，所以直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝.如图，连接OB.因为OA为圆C的直径，所以∠OBA＝，所以AB＝4×cos＝2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.4．(2019·北京西城期中)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.(1)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，点R的直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标．解析(1)由于x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，则曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为＋y2＝1.点R的直角坐标为(2,2)．(2)设P(cosθ，sinθ)，根据题意，可令Q(2，sinθ)，则|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，所以|PQ|＋|QR|＝4－2sin.当θ＝时，(|PQ|＋|QR|)min＝2.所以矩形PQRS周长的最小值为4，且P.5．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，＝，求l的斜率．解析(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.