专练68高考大题专练(八)不等式证明选讲1．已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．2．[2020·全国卷Ⅰ][选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．3．[2020·全国卷Ⅱ][选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．4.[2019·全国卷Ⅲ]设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.5．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解关于x的不等式f(x)>2；(2)若不等式f(x)≥ax＋－恒成立，求实数a的取值范围．专练68高考大题专练(八)不等式证明选讲1．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝故不等式f(x)＞1的解集为.(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，所以≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．2．解析：(1)由题设知f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图象．y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为.由图象可知当且仅当x<－时，y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方．故不等式f(x)>f(x＋1)的解集为.3．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝因此，不等式f(x)≥4的解集为.(2)因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，故当(a－1)2≥4，即|a－1|≥2时，f(x)≥4.所以当a≥3或a≤－1时，f(x)≥4.当－1
2，得x>－3，则x≥4；当－2，得x>，则2，得x<－7，则x<－7.综上，不等式f(x)>2的解集为.(2)因为f(x)＝画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，令y＝ax＋－，则y＋＝a的图象过定点P.由于函数y＝f(x)的最小值为－，不等式f(x)≥ax＋－恒成立，所以y＝ax＋－的图象恒在y＝f(x)的图象的下方，所以－1≤a≤1.
