高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲圆的方程1．方程y＝表示的曲线是()A．上半圆B.下半圆C．圆D．抛物线解析：选A.由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．2．以M(1，0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋y2＝8B.(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝16D．(x＋1)2＋y2＝16解析：选A.因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，所以圆心M(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝＝2.所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8.故选A.3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：选B.圆C1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：选D.由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为()A．0B.1C．2D．3解析：选C.设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个，选C.6．已知动点M(x，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知＝2，即＝2，化简整理得(x－8)2＋y2＝16，即动点M的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆．所以其面积为S＝πR2＝16π.答案：16π7．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y＝x2(x<0)上，且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为____________________．解析：依题意设圆的方程为(x－a)2＋＝r2(a<0)，又该圆与抛物线的准线及y轴均相切，所以＋a2＝r＝－a⇒故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋＝1.答案：(x＋1)2＋＝18．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ为直角三角形，所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝59．已知以点P为圆心的圆经过A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得或所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求的最大值和最小值．解：将圆C化为标准方程可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2，7)，半径r＝2.(1)设m＋2n＝b，则b可看作是直线n＝－m＋在y轴上截距的2倍，故当直线m＋2n＝b与圆C相切时，b有最大或最小值．所以＝2，所以b＝16＋2(b＝16－2舍去)，所以m＋2n的最大值为16＋2.(2)设＝k，则k可看作点(m，n)与点(－2，3)所在直线的斜率，所以当直线n－3＝k(m＋2)与圆C相切时，k有最大、最小值，所以＝2，解得k＝2＋或k＝2－.所以的最大值为2＋，最小值为2－.1．直线l：ax＋by＝0和圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是(...