2.3.2平面与平面垂直的判定课后篇巩固提升1.下列说法:①两个相交平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个平面内作射线所成的角;③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°解析 PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,故选A.答案A3.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析如图所示, BC∥DF,∴BC∥平面PDF,∴A正确.由BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=A,得BC⊥平面PAE,∴DF⊥平面PAE,∴B正确.∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE且BC⊂平面ABC),∴D正确.答案C4.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有()A.1对B.2对C.3对D.5对解析 DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.答案D5.若以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折后两条直角边的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析如图①,AD⊥DC,AD⊥DB,∴∠CDB=90°,设AB=AC=a,则CD=BD=❑√22a,∴CB=a,∴图②中△ABC是正三角形.∴∠CAB=60°.答案C6.已知△ABC中,∠BAC=90°,P为平面ABC外一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC的位置关系是.解析 PA=PB=PC,∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上,又Rt△ABC的外心为BC的中点,设为O,则PO⊥平面ABC,又PO⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面ABC.答案垂直7.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.解析如图作AO⊥β于点O,AC⊥l于点C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ=AOAB=ACAB·AOAC=sin30°·sin60°=❑√34.答案❑√348.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析连接AC,则AC⊥BD. PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD. PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一)9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E、F分别是AB、CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论:①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面BDF⊥平面BFC;④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论序号是.解析作出翻折后的大致图形,可知对于①,AD∥BC,AD与DF相交,但不垂直,所以BC与DF不垂直,故错误;对于②,设点D在平面BCF上的射影为点P,则翻折过程中,P点所在的直线平行于BE,当BP⊥FC时,有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,故正确;对于③,当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF,所以平面BDF⊥平面BFC,故正确;对于④,点D的射影不可能在FC上,所以④不成立,故错误.综上所述,可能成立的结论序号是②③.答案②③10.如图所示,在Rt△AOB中,∠ABO=π6,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点.求证:平面COD⊥平面AOB.证明由题意:CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角. 二面角B-AO-C是直二面角,∴CO⊥BO.又 AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB, CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.11.如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,对角线AC,BD相交于点O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3❑√2.求证:(1)OM∥平面ABD;(2)平面ABC⊥平面MDO.证明(1)由题意知,O为AC的中点, M为BC的中点,∴OM∥AB.又OM⊄平面ABD,BC⊂平面ABD,∴OM∥平面ABD.(2)由题意知,OM=OD=3,DM=3❑√2,∴OM2+OD2=DM2,∴∠DOM=90°,即OD⊥OM. 四边形ABCD是菱形,∴OD⊥AC.又OM∩AC=O,OM,AC⊂平面ABC,∴OD⊥平面ABC. OD⊂平面MDO,∴平面ABC⊥平面MDO.12....
