课时分层作业(二十)向量平行的坐标表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－4，－8)B．(－8，－16)C．(4,8)D．(8,16)A[∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)，＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．]2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x2)共线，且方向相同，则实数x＝()A．1B.C.D.C[设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx2λ)，所以有解得或又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.]3．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为()A．－1B．0C．1D．2B[∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.]4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝()A．2B．3C．4D．5D[a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，∵(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5.]5．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα＝()A．1B.C．2D.C[∵a∥b，∴2cosα＝sinα，∴tanα＝2.]二、填空题6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.[设B(x，y)，则由题意可知∴∴AB＝(4,6)．又AB∥a，∴4λ＝6，∴λ＝.]7．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠[若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(3,1)，AC＝OC－OA＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，即m≠.]8．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．[设P(x，y)，如图：∴MN＝3MP，∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，∴解得]三、解答题9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．[解](1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)∵A，B，C三点共线，∴AB＝λBC，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝.10．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．[解]设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5,4)，CA＝(－3,6)，DC＝(4,0)．由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．又∵CP＝DP－DC＝(5λ－4,4λ)，由于CP与CA共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，解之得λ＝，∴DP＝DB＝，∴P的坐标为.[等级过关练]1．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是()A．－B．－C．－D．－B[v＝2(1,2)－(0,1)＝(2,3)，u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.]2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于()A．2B.C.D.C[a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝.]3．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．[－1，＋∞)[a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1.]4．已知向量OA＝(1,3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．m≠1[由A，B，C能构成三角形知，A，B，C三点不共线，∴AB与AC不共线，∴AB≠λAC(λ为实数)．∵AB＝OB－OA＝(1，－4)，AC＝OC－OA＝(m，m－5)，∴(1，－4)≠λ(m，m－5)，即≠，∴m≠1.]5．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.[解]根据题设，画出图形，如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．由三角函数的定义，得A(2,0)，B(cos150°，sin150°)，即B，C(3cos240°，3sin240°)，即C.故a＝(2,0)，b＝，c＝.设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，即＝λ(2,0)＋μ＝.∴解得∴c＝－3a－3b.
