第四节基本不等式及其应用A组基础题组1.下列不等式一定成立的是()A.lg>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)2.当x>0时,函数f(x)=有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值23.(-6≤a≤3)的最大值为()A.9B.C.3D.4.若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为()A.1B.2C.3D.45.已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,则ab的最大值是()A.9B.C.4D.6.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是.7.已知0-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于.9.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设00,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.B组提升题组1.若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是()A.1B.C.9D.162.不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是.3.(2018湖北武汉调研)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求:(1)u=lgx+lgy的最大值;(2)+的最小值.24.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.答案精解精析A组基础题组1.Clg>lgx⇒x2+>x(x>0),即4x2-4x+1>0.当x=时,4×-4×+1=0,∴A错;当sinx=-1时,sinx+=-2<2,∴B错;x2+1≥2|x|⇒(|x|-1)2≥0,∴C正确;当x=0时,=1,∴D错.2.B∵x>0,∴f(x)=≤=1.当且仅当x=,即x=1时取等号.所以f(x)有最大值1.3.B因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.4.A因为正实数x,y满足x+y=2,所以xy≤==1,所以≥1;3又≥M恒成立,所以M≤1,即M的最大值为1.5.B将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径为,故直线过圆心,即a+2b=6,∴a+2b=6≥2,可得ab≤,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab的最大值是,故选B.6.答案(-∞,-2]解析∵1=2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),∴≤,∴2x+y≤,∴x+y≤-2.7.答案解析x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤·=,当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.8.答案3解析y=x-4+=x+1+-5,因为x>-1,所以x+1>0,>0,所以由基本不等式,得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.9.解析(1)y=(2x-3)++=-+.当x<时,3-2x>0,此时+≥2=4,4当且仅当=,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)∵00,∴y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,∴函数y=的最大值为.10.解析(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又因为x>0,y>0,所以1=+≥2=,所以xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立,所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.B组提升题组1.B+=·=5≥=.当且仅当=,即a=,b=时取等号,故选B.2.答案(-2,1)解析由于不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则x2+x<,因为+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,所以x2+x<2,求解此一元二次不等式知-20,y>0,所以由基本不等式,得2x+5y≥2.因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.所以u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.所以当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)因为x>0,y>0,所以+=·=≥7+2=.当且仅当=时,等号成立.由解得6所以+的最小值为.4.解析(1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为米.f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296+12960,∵x>0,∴f(x)≥1296×2+12960=38880,当且仅当x=,即x=10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知∴≤x≤16.设g(x)=x+,则g'(x)=1-,因为g'(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,∴当x=时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1296×+12960=38882.7∴当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38882元.8
