高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲 几何概型练习 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第5讲几何概型[基础题组练]1．(2020·江西九江模拟)星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是()A.B．C.D．解析：选D.由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A，则P(A)＝＝.故选D.2．(2020·河南洛阳二模)在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为()A．1－B．1－C．1－D．1－解析：选B.若点P到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A，B，C为圆心作半径为1的圆，则P的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为×3××12＝，△ABC的面积S＝×22×sin60°＝，则阴影部分的面积S＝－，则对应的概率P＝＝1－.故选B.3．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－B．C.D．1－解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.4.(2020·河北衡水联考)在如图所示的几何图形中，四边形ABCD为菱形，C为EF的中点，EC＝CF＝3，BE＝DF＝4，BE⊥EF，DF⊥EF.若在几何图形中任取一点，则该点取自Rt△BCE的概率为()A.B．C.D．解析：选D.因为EC＝3，BE＝4，BE⊥EC，所以BC＝5.又由题可知BD＝EF＝6，AC＝2BE＝8，所以S△BCE＝S△DFC＝×3×4＝6，S四边形ABCD＝AC·BD＝24.由几何概型概率公式可得，所求概率P＝＝，即该点取自Rt△BCE的概率为.故选D.5.(2020·湖南宁乡一中、攸县一中联考)将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C称为线段AB的黄金分割点．图中在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为()A.B．－2C.D．解析：选B.所求概率为＝＝＝＝－2.故选B.6.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝，y＝－，y＝x，y＝－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是.答案：7．已知平面区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是________．解析：y＝sin2x＝－cos2x，所以dx＝＝，区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤1}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin2x下方的概率是＝.答案：8．已知O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C，动点P(x，y)满足0≤OP·OA≤2且0≤OP·OB≤2，则点P到点C的距离大于的概率为________．解析：因为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)，C，动点P(x，y)满足0≤OP·OA≤2且0≤OP·OB≤2，所以如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>对应的平面区域为阴影部分．由解得即E，所以|OE|＝＝，所以正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为－，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－.答案：1－9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求AB的长度小于π的概率；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．解：(1)圆O的周长为4π，所以AB的长度小于π的概率为＝.(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)...