课时规范练32基本不等式及其应用基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.<1(x∈R)2.若a,b都是正数,则1+1+的最小值为()A.7B.8C.9D.103.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是()A.B.4C.D.54.(2018江西南昌测试三,10)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为()A.B.C.D.15.(2018江西新余四中适应性考试,9)设正数x,y满足x>y,x+2y=3,则的最小值为()A.B.3C.D.6.(2018辽宁辽南协作校一模拟,6)若lga+lgb=0且a≠b,则的取值范围为()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[2,3)∪(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)7.(2018天津十二中学联考一,12)已知a>b>0,则2a+的最小值为()A.2+2B.C.2D.8.(2018河北唐山迁安三中期中,9)设x,y均为正实数,且=1,则xy的最小值为()A.4B.4C.9D.169.若对于任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.10.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为.11.(2018河北唐山二模,23)已知a>0,b>0,c>0,d>0,a2+b2=ab+1,cd>1.(1)求证:a+b≤2;(2)判断等式=c+d能否成立,并说明理由.12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)≥8;(2)1+1+≥9.综合提升组113.(2018湖北宜昌一中适应性考试,11)若P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界),△PAB,△PAC和△PBC的面积分别为x,y,z,则的最小值是()A.3B.C.D.14.(2018广东广州仲元中学期末,11)已知x,y∈R+,且满足x+2y=2xy,则x+4y的最小值为()A.3-B.3+2C.3+D.415.(2018湖南澧县一中一检,14)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为.创新应用组16.(2018河南信阳二模,11)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a>0,b>0,则的最小值为()A.1B.2C.3D.42课时规范练32基本不等式及其应用1.C当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lgx2+≥lgx(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.2.C∵a,b都是正数,∴1+1+=5+≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.3.C依题意,得·(a+b)=5+≥5+2=,当且仅当即a=,b=时取等号,即的最小值是.4.A因为x+4y-xy=0,化简可得x+4y=xy,左右两边同时除以xy,得=1,求的最大值,即求的最小值,所以×1=×=≥2≥3,当且仅当时取等号,所以的最大值为,所以选A.5.A因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以(x-y)+(x+5y)=6,所以×6=[(x-y)+(x+5y)]=10+≥(10+2)=,当且仅当x=2,y=时取最小值.故选A.6.A∵lga+lgb=0且a≠b,∴lgab=0,即ab=1.∴·ab=2b+a≥2=2,当且仅当a=2b=时取等号.∴的取值范围为[2,+∞),故选A.7.A∵a>b>0,2a+=a+b+a-b+,∴a+b+≥2,当且仅当a+b=时取等号;a-b+≥2,当且仅当a-b=时取等号.∴联立解得∴当时,a+b+a-b+≥2+2,即2a+取得最小值2+2.8.D将等式化简可得xy-8=x+y≥2,解得≥4,所以xy≥16,所以最小值为16.故选D.9.,+∞,因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),则,即的最大值为,故a≥.10.[4,12]∵2xy=6-(x2+4y2),而2xy≤,3∴6-(x2+4y2)≤,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12.11.(1)证明由题意得(a+b)2=3ab+1≤32+1,当且仅当a=b时,取等号.解得(a+b)2≤4,又a,b>0,所以a+b≤2.(2)解不能成立.,因为a+b≤2,所以≤1+,因为c>0,d>0,cd>1,所以c+d=+1,故=c+d不能成立.12.证明(1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴=2=2=2+4≥4+4=8当且仅当a=b=时,等号成立,∴≥8.(2)∵1+1+=+1,由(1)知≥8.∴1+1+≥9.13.A∵x+y+z=1,∴+1≥2+1=3,当且仅当x=时取等号,∴的最小值为3,故选A.14.B由题意可得(2y-1)(x-1)=1,变形为(x-1)(4y-2)=2,所以,所以x+4y≥2+3,当且仅当x-1=4y-2时,等号成立,即x=+1,y=,选B.15.4由题意知,a>0,Δ=4-4ac=0,∴ac=1,c>0,则=+≥2+2=2+2=4,当且仅当a=c=1时取等号.∴的最小值为4.16.A曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)2+y2=25,表示圆心为A(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,(x+6)2+(y-6)2可以看作点M到点N(-6,6)的距离的平方,圆C上一点M到N的距离的最大值为|AN|+5,即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点,所以直线AN的方程为y=-(x-2),由解得(舍去),∴当时,t取得最大值,且tmax=(6+6)2+(-3-6)2-222-a=b,∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,∴[(a+1)+b]=+2≥1,当且仅当,且a+b=3,即a=1,b=2时等号成立.故选A.4
