高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法练习 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第六章不等式、推理与证明6.7数学归纳法练习理[A组·基础达标练]1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立，起始值至少应取为()A．7B．8C．9D．10答案B解析左边的和为＝2－21－n，当n＝8时，和为2－2－7>，故选B.2．[2016·青岛高三月考]用数学归纳法证明＋＋…＋>时，由k到k＋1，不等式左边的变化是()A．增加项B．增加和两项C．增加和两项同时减少项D．以上结论都不对答案C解析n＝k时，左边＝＋＋…＋n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋，由“n＝k”变成“n＝k＋1”时，不等式左边的变化是＋－.3．[2016·安庆高三月考]用数学归纳法证明2n>n2(n≥5，n∈N＋)，第一步应验证()A．n＝4B．n＝5C．n＝6D．n＝7答案B解析根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立，又n≥5，故第一步验证n＝5，故选B.4．[2015·德州一模]用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边的式子为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案D解析根据数学归纳法的步骤可得，n＝1，左边为1＋2＋22＋23.5．[2015·潍坊模拟]某个命题与正整数有关，若当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝4时该命题不成立，那么可推得()A．当n＝5时，该命题不成立B．当n＝5时，该命题成立C．当n＝3时，该命题成立D．当n＝3时，该命题不成立答案D解析由n＝k时成立可推得n＝k＋1时成立，取逆否命题，可知选D.6．[2015·南昌模拟]已知f(n)＝12＋22＋33＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2答案A解析根据数学归纳法步骤可得f(k＋1)＝12＋22＋33＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，可知选A.7．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝______.答案＋＋＋…＋1解析Sn＋1＝1＋＋＋＋…＋Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.8．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝______.答案解析令n＝1,S1＝a1＝n＝2，S2＝a1＋a2＝n＝3，S3＝a1＋a2＋a3＝猜想n＝n，Sn＝.9．[2015·陕西一模]观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.答案n2解析 1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.10．[2016·云南名校联考]观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________．答案2解析由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝2.[B组·能力提升练]1．[2015·湖北高考]已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nnan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较n与e的大小；(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x<0时，f(x)单调递增；当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减．故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x>0时，f(x)