§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×)(2)命题“α＝，则tanα＝1”的否命题是“若α＝，则tanα≠1”．(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×)(5)(2014·上海改编)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的充分条件．(×)(6)若α∈(0,2π)，则“sinα＝－1”的充要条件是“α＝π”．(√)1．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是________．答案若tanα≠1，则α≠解析命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠”．2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案2解析向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，∴命题p为真，其逆命题为假，故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.3．(2013·福建改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．答案充分不必要解析a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.4．下列命题正确的有________．①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件；④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件．答案②③解析由于|a|>|b|⇔a2>b2，a>b⇔a＋c>b＋c，故②③正确．由于a>bDa2>b2，且a2>b2Da>b，故①错；当c2＝0时，a>bDac2>bc2，故④错.题型一四种命题及真假判断例1(1)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是________．(2)命题“对于正数a，若a>1，则lga>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中，真命题的个数为________．答案(1)②④(2)4解析(1)只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．(2)原命题“对于正数a，若a>1，则lga>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lga>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lga≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lga≤0，则a≤1”是真命题．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是________．①若α＝，则cosα≠；②若α≠，则cosα≠；③若cosα＝，则α＝；④若cosα≠，则α≠.(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是下列命题中的________．①若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数；②若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数；③若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数；④若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数．答案(1)③(2)③解析(1)命题“若α＝，则cosα＝”的逆命题是“若cosα＝，则α＝”．(2)由于“x，y都是偶数”...
