限时规范训练二解三角形(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.(2)设∠PBA＝α，则∠BCP＝α，在Rt△BCP中，PB＝BCsinα＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.2．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos2B＝sin2C.又由A＝，即B＋C＝π，得－cos2B＝－cos[2]＝－cos＝sin2C＝2sinCcosC，∴2sinCcosC＝sin2C解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝，cosC＝.又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin，所以sinB＝.由正弦定理＝，得c＝b，又因为A＝，bcsinA＝3，所以bc＝6，故b＝3.4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，及a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.法二：由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝.故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为absinC＝.
