高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作业23 正弦定理、余弦定理（含解析）文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业23正弦定理、余弦定理一、选择题1．在△ABC中，AB＝12，sinC＝1，则abc等于()A．123B．321C．12D．21解析：由sinC＝1，∴C＝，由AB＝12，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，abc＝sinAsinBsinC＝1＝12.答案：C2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，且b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.解析：由正弦定理可得sinB＝2sinAcosB，即tanB＝2sinA＝，所以B＝，因此△ABC是一个正三角形，所以S△ABC＝××1×1＝.答案：A4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()A.B．1C.D．2解析： a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4.∴△ABC的面积为bcsinA＝.答案：C5．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．1解析：由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，即＝×1×sinB，解得sinB＝.∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．故选B.1答案：B6．(2016·新课标全国卷Ⅱ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B.C．－D．－解析：设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cosA＝＝＝－，故选C.答案：C二、填空题7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝________.解析：由＝，得＝，所以a＝.答案：8．(2016·北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.解析： a＝c，∴sin∠A＝sin∠C， ∠A＝，∴sin∠A＝，∴sin∠C＝，又∠C必为锐角，∴∠C＝， ∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴＝1.答案：19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．解析：因为cosA＝－，所以sinA＝＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3.所以，bc＝24，则(b＋c)2＝(b－c)2＋4bc＝4＋4×24＝100，所以，b＋c＝10，又b－c＝2，所以，b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝64，所以a＝8.答案：8三、解答题10．(2016·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若cosA＝，求sinC的值．解：(Ⅰ)在△ABC中，由＝，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝bsinA，得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，所以cosB＝，得B＝.(Ⅱ)由cosA＝，可得sinA＝，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin(A＋)＝sinA＋cosA＝.11．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC；(Ⅱ)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.解：(Ⅰ)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(Ⅱ)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.所以sinA＝＝.2由(Ⅰ)，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4.1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.B.C．－D．－解析：因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，＝4，所以＝4，解得tanC＝－或tanC＝0(舍去)，故选C.答案：C2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积...