高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 课时跟踪训练50 椭圆(二)文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪训练(五十)椭圆(二)[基础巩固]一、选择题1．(2017·辽宁师大附中期中)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.D．－[解析]由过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴x1＋x2＝，∴P的横坐标为，P的纵坐标为k1＝，即点P，∴直线OP的斜率k2＝，∴k1k2＝－.故选D.[答案]D2．如图，F(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，A，B为椭圆的上、下顶点，P为直线AF与椭圆的交点，则直线PB的斜率kPB＝()A.B.C.D.[解析]直线AF的方程为＋＝1，把y＝－x＋b代入＋＝1，得x2－x＝0，∴xP＝，yP＝，∴kPB＝＝.[答案]D3．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝1，则直线AD的斜率k2＝()A.B．－C．－D．－2[解析]解法一：设AB的中点为G，由椭圆与平行四边形的对称性知O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减是＝－，整理得＝－＝－k1＝－1，即＝－.又G，所以kOG＝＝－，即k2＝－，故选B.解法二：设直线AB的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D(－x2，－y2)．则直线AD的斜率k2＝＝＝1＋.联立消去y得3x2＋4tx＋2t2－4＝0，则x1＋x2＝－，∴k2＝1＋＝－.故选B.[答案]B二、解答题4．(2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C与圆M：x2＋(y－3)2＝4的公共弦长为4.1(1)求椭圆C的方程；(2)已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2＋y2＝相切并交椭圆C于另一点B，求OA·OB的值．[解](1) 椭圆C与圆M的公共弦长为4，∴椭圆C经过点(±2,3)，∴＋＝1，又＝，a2＝b2＋c2，解得a2＝16，b2＝12，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)已知右顶点A(4,0)， 直线l与圆x2＋y2＝相切，设直线l的方程为y＝k(x－4)，∴＝，∴9k2＝1，∴k＝±.联立y＝±(x－4)与＋＝1，消去y，得31x2－32x－368＝0.设B(x0，y0)，则由根与系数的关系得4x0＝－，∴OA·OB＝4x0＝－.5．(2017·吉林长春外国语学校期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上任意一点，且|PF1|＋|PF2|＝2，它的焦距为2.(1)求椭圆C的方程．(2)是否存在正实数t，使直线x－y＋t＝0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．[解](1) F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，且|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝. 2c＝2，∴c＝1，∴b＝＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得3x2＋4tx＋2t2－2＝0.①由①知x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2t＝. 线段AB的中点在圆x2＋y2＝上，∴2＋2＝，解得t＝(负值舍去)，故存在t＝满足题意．6．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM＝2MB，求直线l的方程．[解](1)设椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，因为c＝1，＝，所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，则由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ＝192k2＋96>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM＝2MB得x1＝－2x2.又所以消去x2，得2＝，解得k2＝，k＝±.所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.[能力提升]7．(2017·河南考前预测)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点是F1，F2，且|F1F2|＝2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|·|F2B|的取值范围．[解](1)因为椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知解得a＝2，b＝.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为F2(1,0)，所以①当直线l的斜率不存在时，A，B，则|AF2|·|F2B|＝.2②当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为y＝k(x－1)．由消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AF2|＝＝·|...