大题规范满分练(二)三角综合问题1.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且m⊥n.(1)求角B的大小.(2)若b=,求a+c的取值范围.【解析】(1)因为m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且m⊥n,所以(2a+c)cosB+bcosC=0,所以cosB(2sinA+sinC)+sinBcosC=0,所以2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0.即2cosBsinA=-sin(B+C)=-sinA.因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosB=-.因为0b=,所以a+c∈(,2].即a+c的取值范围是(,2].3.已知向量a=(1,cos2x),b=(sin2x,-),函数f(x)=a·b.(1)若f=,求cos2θ的值.(2)若x∈,求函数f的值域.【解析】(1)因为向量a=(1,cos2x),b=(sin2x,-),所以f(x)=a·b=sin2x-cos2x=2sin,所以f(+)=2sin(θ+-)=-2sinθ=,则sinθ=-,cos2θ=1-2sin2θ=1-2×=;(2)由x∈,则2x-∈,所以sin∈,则f(x)∈[-,2],则f(x)的值域为[-,2].4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=.(1)求B.(2)若b=1,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由余弦定理可得,==,则=,即sinAcosB=cosBsinC+sinBcosC,所以sinAcosB=sin(B+C)=sinA,因为sinA≠0,则cosB=,所以B=.(2)由余弦定理可知,b2=a2+c2-2accosB,即1=a2+c2-ac,所以1=a2+c2-ac≥2ac-ac,当且仅当a=c时取等号,则ac≤=.S△ABC=acsinB≤,所以△ABC面积的最大值为.
