函数的单调性与最值一、填空题1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．解析令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在R上是增函数，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g(x)＞g(－1)，由g(x)的单调性，可得x＞－1.答案(－1，＋∞)2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f的x取值范围是________．解析由题意可知|2x－1|＜，解得＜x＜.答案3．函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是_______．解析∵0＜a＜1，∴u＝logax在(0，＋∞)上为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，若f(x)为增函数，则g(x)为减函数，故0≤logax≤，∴≤x≤1，∴单调减区间为[，1]．答案[，1]4．下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上是减函数．答案②5．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．解析由f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，及f(1－x)＋f(1－x2)＜0，得f(1－x)＜－f(1－x2)，所以f(1－x)＜f(x2－1)．又因为f(x)在(－1,1)上是减函数，所以故原不等式的解集为(0,1)．答案(0,1)6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y＝f(x)是减函数，若|x1|＜|x2|，则结论：①f(x1)－f(x2)＜0；②f(x1)－f(x2)＞0；③f(x1)＋f(x2)＜0；④f(x1)＋f(x2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析由题意，得f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，从而由0≤|x1|＜|x2|，得f(|x1|)＜f(|x2|)，即f(x1)＜f(x2)，f(x1)－f(x2)＜0，只能①是正确的．答案①7．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调减区间为________．答案(－∞，－1)8．函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．答案，19．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.1解析∵f(x)＝∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴－＝3，∴a＝－6.答案－610．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是(1，＋∞)；④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故④正确．答案①③④二、解答题11．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．(1)证明法一设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.因为f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，所以f(x2)>f(x1)，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数．法二因为f(x)＝－，所以f′(x)＝′＝>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．(2)解因为f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，所以f＝，f(2)＝2，故a＝.12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明法一因为函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，2即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上为减函数．(2)解因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.3
