三次函数专题一、考情分析：在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考的热点。2007年13题中档题21题基础题；2008年14题难题2009年3题基础题9题难题2010年未涉及2011年19题压轴题从今年江苏高考来看二次函数型问题【C级考点】普片涉及较多本于三次函数导函数为二次函数型，对三次函数问题的研究应注意强化。二、知识梳理:1.图像特征及零点分布：性质状态三次函数图象说明a对图象的影响当a＞0时，在+∞右向上伸展，-∞左向下伸展。当a＜0时，在+∞右向下伸展，-∞左向上伸展。与x轴有三个交点,，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点,，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点1。存在极值时即2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。用心爱心专心12.极值情况：三次函数（a＞0）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=，(1)若，则在上为增函数；(2)若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.总结以上得到结论:三次函数,(1)若，则在R上无极值；(2)若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。三、经典讲练：【例题1】：函数在时有极值，则的值分别为________.【解析】由已知，得即解得，经检验：当时，不是极值点;当时，符合题意.变式训练：【临沂高新实验中学】7．已知函数),,()(23为常数dcbdcxbxxxf，),4()0,(k时，0)(kxf只有一个实数根；当有时0)(,)4,0(kxfk3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数)(xf有2个极值点；②函数)(xf有3个极值点；用心爱心专心2③)(xf=4，)(xf=0有一个相同的实根④)(xf=0和)(xf=0有一个相同的实根其中正确命题的个数是。3【例题2】：【05全国二卷】设为实数，函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．解：（I）若，则当x变化时，变化情况如下表：x1＋0－0＋极大值极小值所以f(x)的极大值是，极小值是（II）函数由此可知x取足够大的正数时，有，x取足够小的负数时有，所以曲线与x轴至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上；当f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上所以当时，曲线与x轴仅有一个交点。（也可以直接用，）变式训练：a为何值时f（x）的图象与直线y=1恰有一个交点分析：令极大值，或极小值例题3：14.3()31fxaxx对于1,1x总有()0fx成立，则a=▲。【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使()0fx恒成立，只要min()0fx在1,1x上恒成立。22()333(1)fxaxax用心爱心专心301当0a时，()31fxx，所以min()20fx，不符合题意，舍去。02当0a时22()333(1)0fxaxax，即()fx单调递减，min()(1)202fxfaa，舍去。03当0a时1()0fxxa①若111aa时()fx在11,a和1,1a上单调递增，在11,aa上单调递减。所以min1()min(1),()fxffa(1)400411()120faafaa②当111aa时()fx在1,1x上单调递减，min()(1)202fxfaa不符合题意，舍去。综上可知a=4.变式练习：【江苏·扬州】14．若函数3213fxxax满足：对于任意的12,0,1xx都有12||1fxfx恒成立，则a的取值范围是。223,333例题4：（07全国II理22/22）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．用心爱心专心4（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情...
