2.2.2圆的一般方程[A.基础达标]1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是()A．圆B．直线C．点D．不表示任何图形解析：选A.将方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1化为x2＋y2＋2x＋3y－＝0.则D＝2，E＝3，F＝－.计算得D2＋E2－4F＝22＋32－4×＝15>0.所以方程表示圆，故选A.2．下列方程中表示圆的是()A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0解析：选C.选项C中的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．3．已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－x＋y－4＝0的外部，则a的取值范围是()A．(－∞，－)∪[－，＋∞)B．(－∞，2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选C.将圆的一般方程配方得＋＝，点在圆外，需＋>，解得a∈(－∞，－)∪(，＋∞)．4．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是()A．(0，－1)B．(1，－1)C．(－1，0)D．(－1，1)解析：选A.由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，得圆的半径r＝＝.所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－，－)，即(0，－1)，故选A.5．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为()A．(－∞，2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选D.由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a，2a)，半径为2，则有解得a>2.6．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心到直线x－y－2＝0的距离为________．解析：已知圆的圆心坐标为(1，1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.答案：7．若实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，则x2＋y2的最大值等于________．解析：依题意，点P(x，y)在圆x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，而x2＋y2表示点P与原点O距离的平方．由于已知圆的圆心为C(3，－4)，半径r＝1，又|OC|＝5，所以点P与原点O距离的最大值为1＋5＝6，从而x2＋y2的最大值是36.答案：368．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．解析：将x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化为＋(y＋1)2＝5＋，故圆心坐标是.由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，故－＋1＋1＝0，解得k＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.答案：9π9．求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．等腰三角形的顶点A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设底边另一个端点C的坐标是(x，y)，依题意，得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式得＝，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆．又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且不能为圆A的一条直径的两个端点，所以点C不能为(3，5)且≠4，≠2，即点C也不能为(5，－1)，故点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．[B.能力提升]1．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()A．3－B．3＋C．3－D.解析：选A.lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝＝，所以AB边上的高的最小值为－1.又因为|AB|＝＝2，所以S△min＝×(2)×＝3－.故选A.2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析：选C.因为x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，所以圆心C(－1，0)．又过点C的直线与x＋y＝0垂直，所以其斜率为1.所以所求直...
