4.5.1函数的零点与方程的解分层演练综合提升A级基础巩固1.函数f(x)=x+1x的零点的个数为()A.0B.1C.2D.3答案:A2.已知函数f(x)={2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.0答案:D3.函数f(x)=lnx-3x的零点所在的区间是()A.(1,2)B.(1,e)C.(e,3)D.(0,1)答案:C4.若f(x)={x2-x-1,x≥2或x≤-1,1,-1
0,所以f(x)=x12-(12)x在定义域内只有一个零点.方法2(数形结合法)令f(x)=x12-(12)x=0,所以x12=(12)x,在同一平面直角坐标系中作出y=x12和y=(12)x的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象只有一个交点,故函数f(x)=x12-(12)x只有一个零点.B级能力提升6.若函数f(x)=lnx+x-4有零点的区间为(k,k+1),k∈Z,则k=2.解析:方法1(应用零点存在定理求解)易知函数f(x)=lnx+x-4在定义域内为增函数,且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,所以f(2)f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2,3)上有零点.所以k=2.方法2(转化为函数图象交点问题)令y1=4-x,y2=lnx.在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图所示.当x=2时,y1=2,y2=ln2<2,当x=3时,y1=1,y2=ln3>1,所以函数f(x)的零点在区间(2,3)上.故k=2.7.已知a∈R,当x>0时,f(x)=log21x+a.(1)若函数f(x)的图象过点(1,1),求此时函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,求实数a的值.解:(1)因为a∈R,当x>0时,f(x)=log2(1x+a),函数f(x)的图象过点(1,1),所以f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,此时函数f(x)=log2(1x+1).(2)g(x)=f(x)+2log2x=log2(1x+a)+2log2x=log2(x+ax2).因为函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,所以ax2+x=1只有一个解,所以当a=0时,x=1,满足题意;当a≠0时,ax2+x-1=0只有一个根,则Δ=12-4a×(-1)=0,解得a=-14.综上所述,a=0或a=-14.8.已知函数f(x)=a-2+a·2x1+2x.(1)当a=1时,判断函数f(x)的奇偶性并证明;(2)讨论f(x)的零点个数.解:(1)当a=1时,函数f(x)=-1+2x1+2x,该函数为奇函数.证明如下:依题意,得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=-1+2-x1+2-x=-2x+12x+1=--1+2x1+2x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.(2)对f(x)进行化简,得f(x)=a-21+2x,所以f(x)=0等价于a=21+2x.因为函数y=2x在R上单调递增且值域为(0,+∞),所以y=21+2x在R上单调递减且值域为(0,2),所以当a≤0或a≥2时,函数f(x)无零点;当0m.(1)当m=0时,函数f(x)的零点个数为3;解析:当m=0时,函数f(x)={-x2-2x,x≤0,x-4,x>0.当x≤0时,令-x2-2x=0,解得x=0或x=-2;当x>0时,令x-4=0,解得x=4所以当m=0时,函数f(x)有三个零点.(2)如果函数f(x)恰有两个零点,那么实数m的取值范围为[-2,0)∪[4,+∞).解析:作出函数y=-x2-2x和y=x-4的图象,如图所示.要使函数f(x)恰有两个零点,则-2≤m<0或m≥4,即实数m的取值范围是[-2,0)∪[4,+∞).
