课时分层训练(二十四)正弦定理和余弦定理(对应学生用书第243页)A组基础达标一、选择题1．在△ABC中，若＝，则B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°B[由正弦定理知：＝，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C[由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形D[根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.]4．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]5．(2018·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为()【导学号：79140133】A.B．C．1D．2A[因为cos2A＝sinA，所以1－2sin2A＝sinA，则sinA＝(舍负)，则△ABC的面积为bcsinA＝×2×＝，故选A.]二、填空题6．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则其最大内角的余弦值为________．－[因为c＞b＞a，所以在△ABC中最大的内角为角C，则由余弦定理，得cosC＝＝＝－.]7．如图371所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．图371[ sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.]8．(2017·全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝________.【导学号：79140134】[因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sinC＝sinA＝×＝.由A＝知C为锐角，故C＝.]三、解答题9．(2018·银川质检)如图372，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.图372(1)求角A的大小；(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.[解](1) 2acosC－c＝2b，∴由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC. sinC≠0，∴cosA＝－.又A∈(0，π)，∴A＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，∴sin∠ADB＝＝.又AB＜BD，∴∠ADB＝.∴∠ABC＝，∠ACB＝.∴AC＝AB＝，由余弦定理得a＝BC＝＝.10．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝.(2)由已知得absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋.B组能力提升11．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.B．C.D．C[由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，∴cosA≥，在△ABC中，A∈(0，π)．由余弦函数的性质，得0＜A≤.]12．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2AA[ 等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.根据正弦定理，得a＝2b.故选A.]13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B...
