第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算突破点(一)导数的运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．3．基本初等函数的导数公式原函数sinxcosxax(a>0)exlogax(a>0，且a≠1)lnx导函数cosx－sin_xaxln_aex4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”已知函数的解析式求导数[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(1－)；(2)y＝；(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e；(5)y＝.[解](1) y＝(1－)＝－＝x－－x，∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.(2)y′＝′＝＝＝.1本节主要包括2个知识点：1.导数的运算；2.导数的几何意义.(3)y′＝′＝＝＝.(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(5)y′＝＝＝.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2](1)(2016·济宁二模)已知函数f(x)＝x(2017＋lnx)，f′(x0)＝2018，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(2017)＋2017lnx，则f′(1)＝________.[解析](1)由题意可知f′(x)＝2017＋lnx＋x·＝2018＋lnx．由f′(x0)＝2018，得lnx0＝0，解得x0＝1.(2)由题意得f′(x)＝x＋2f′(2017)＋，所以f′(2017)＝2017＋2f′(2017)＋，即f′(2017)＝－(2017＋1)＝－2018.故f′(1)＝1＋2×(－2018)＋2017＝－2018.[答案](1)B(2)－2018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f(x)＝f′(x0)x＋sinx＋lnx(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”21.(2017·东北四市联考)已知y＝，则y′＝()A.B．－C.D．0解析：选D因为常数的导数为0，又y＝是常数函数，所以y′＝0.2.(2016·大同二模)已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′＝1，则a＝()A．0B．1C．2D．4解析：选A f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′＝1，∴sin＋cos＋a＝1，即a＝0.3.(2017·湖北重点中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－D.解析：选C因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.故选C.4.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.又数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝4096.答案：40965.求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；(4)y＝xsincos.解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(3)y′＝′＝＝－.(4) y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x.突破点(二)导数的几何意义基础联通抓主干知识的“源”...
