平面和空间直线易错剖析慕泽刚对初学立体几何的同学来说，面对融入了较强空间想象力及逻辑思维能力的新知识，常常会因对平面及平面的基本性质，异面直线理解不透彻而出错，本文对错因加以分析，希望同学们能引以为戒。一、乱用几何语言而致错例1下列说法中，结论正确的个数为（）①②③④A.1B.2C.3D.4错解：选D。剖析：①中结论l与属于集合与集合之间的关系，应为；②不正确；③描述的是公理2的内容，因此结论应为；④与集合的结论混淆了，A与l和应是元素与集合间的关系，因此结论应为，且。针对训练1：下列说法中，①直线；②和l确定平面；③和b确定平面。结论不正确的个数为_________。二、空间想象力缺乏而致错例2命题“在空间有三个角都是直角的四边形是矩形”是否正确？错解：正确。剖析：由于缺乏空间想像力，只借助于平面几何知识判断是本题出现错误的原因，其实只要构造一个正方体模型，如图1，在正方体中，空间四边形ABCD有三个角是直角，但不是矩形，所以命题不正确。针对训练2：已知直线l是平面的斜线，l与成70°的角，问在内与l成60°角的直线有多少条？三、错误套用平面几何的定理、公理等相关结论而致错例3如图2，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形。用心爱心专心115号编辑错解：因为H，E分别为AD，AB边的中点，所以。因为F，G分别为BC，CD边中点，所以。即。同理可得，故四边形EFGH为平行四边形。剖析：上面的解法就是错用平面几何中的结论：若一个四边形的两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形，但此结论在立体几何中却不一定成立。正确：因为H，E分别为AD，AB边的中点，所以因为F，G分别为BC，CD边中点，所以即，故四边形EFGH为平行四边形。针对训练3：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，且AE：EB＝AH：HD＝CG：GD＝CF：FB＝1：2，求证：四边形EFGH为平行四边形。四、对异面直线概念的理解不透彻而致错例4如图3，已知，求证：b，c是异面直线。错解：因为所以b与只有一个公共点。又因为，所以。因为b与c无公共点，从而b，c是异面直线。剖析：上述证法只证明了两条直线无公共点，而没有证明两直线不在任何一个平面内。正解：因为所以。在直线b上任取一点B（不同于A），因为，所以所以AB与c是异面直线，即b，c是异面直线。针对训练4：已知直线a，b是异面直线，A，B是a上相异两点，C，D是b上相异两点，求证：AC，BD用心爱心专心115号编辑是异面直线。针对训练参考答案：1.解：2个。其中①，②错误。2.解：0条。因为直线l与平面所成的角是直线l与平面所有直线所成的角中最小的一个，由于直线l与内成70°的角，因此在内与l成60°角的直线当然就不存在了，应答有0条。而不是无数条。3.证明：因为AE：EB＝AH：HD＝1：2，所以又所以即，故四边形EFGH为平行四边形。4.证明：（反证法）假设直线AC，BD不是异面直线，则它们必共面，设它们在同一平面内。因为A，B，C，D在同一平面内，所以这与a，b是异面直线矛盾，所以AC，BD是异面直线。用心爱心专心115号编辑
