第37讲直接证明与间接证明课时达标一、选择题1．用反证法证明命题“若a＋b＋c为偶数，则自然数a，b，c恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数D解析“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”．故选D
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)b>0，且ab＝1，若01，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案a，b，c，d全是负数9．(2019·郑州一模)某题字迹有污损，大致内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x＋y|≤|1＋xy|”．估计污损部分的文字内容为________．解析要证|x＋y|≤|1＋xy|，需证(x＋y)2≤(1＋xy)2，化简得x2＋y2≤1＋x2y2，(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，又要证得不等式成立，所以估计污损部分的文字内容为“|y|≤1”．答案|y|≤1三、解答题10．(2019·永州一中月考)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b
证明欲要证2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即证2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即证(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，所以2a3－b3≥2ab2－a
