配餐作业(二十八)平面向量的数量积(时间：40分钟)一、选择题1．已知p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为()A.B.C．5D．13解析由题意得2×6＋3x＝0⇒x＝－4⇒|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝。故选B。答案B2．(2016·商丘模拟)在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC|＝1，S△ABC＝，则AB·AC的值为()A．－2B．2C．±4D．±2解析S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝×4×1×sin∠BAC＝。∴sin∠BAC＝，cos∠BAC＝±，∴AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠BAC＝±2。故选D。答案D3．(2017·石家庄模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AC·BC＝1，则BC＝()A.B.C．2D．3解析设∠A＝θ，因为BC＝AC－AB，AB＝4，AC＝3，所以AC·BC＝AC2－AC·AB＝9－AC·AB＝1。AC·AB＝8，cosθ＝＝＝，所以BC＝＝3。故选D。答案D4．(2016·昆明质检)设D为△ABC所在平面内一点，|AB|＝2，|AC|＝1，AC⊥BC，CD＝BC，则AD·CD＝()A．1B.C．－1D．－解析在△ABC中，因为AC⊥BC，所以BC＝＝，所以|BC|＝，所以AD·CD＝(AC＋CD)·CD＝·BC＝AC·BC＋BC2＝0＋()2＝，故选B。答案B5．(2016·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO＝AB＋AC且|OA|＝|AB|，则向量BA在BC方向上的投影为()A.B.C．－D．－解析由2AO＝AB＋AC可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|，由题意知|OA|＝|AB|＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°。所以向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos∠ABC＝1×cos60°＝。故选A。答案A6．(2017·厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是()A.B．2C.D．6解析由AB·AC＝|AB||AC|cos120°＝－|AB||AC|＝－1得|AB||AC|＝2，|BC|2＝|AC－AB|2＝AC2＋AB2－2AB·AC＝AC2＋AB2＋2≥2|AC||AB|＋2＝6，当且仅当|AC|＝|AB|＝时等号成立。所以|BC|≥，故选C。答案C二、填空题7．(2016·开封一模)设向量a＝与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ＝________。解析依题意，－＋2cos2θ＝0，即2cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝－。答案－8．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为__________。解析由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为90°。答案90°9．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是BC，CD的中点，则(AE＋AF)·BD＝________。解析如图，将矩形放在直角坐标系中，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，E，C(2,1)，F(1,1)，所以AE＝，AF＝(1,1)，BD＝(－2,1)，所以AE＋AF＝，所以(AE＋AF)·BD＝·(－2,1)＝－6＋＝－。答案－10．设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a＋c)·(b＋c)的最大值为________。解析解法一：设向量c与a＋b的夹角为θ，则有|a＋b|＝＝＝，(a＋c)·(b＋c)＝(a＋b)·c＋c2＝1＋cosθ，故最大值是1＋。解法二： a，b是单位向量，且a·b＝0，故可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，又c是单位向量，故可设c＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0,2π)。∴(a＋c)·(b＋c)＝(1＋cosθ，sinθ)·(cosθ，1＋sinθ)＝(1＋cosθ)cosθ＋sinθ(1＋sinθ)＝cosθ＋cos2θ＋sinθ＋sin2θ＝1＋cosθ＋sinθ＝1＋sin。∴(a＋c)·(b＋c)的最大值为1＋。答案1＋三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°。(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)。解析由已知得，a·b＝4×8×＝－16。(1)① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4。② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16。(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7。即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直。答案(1)①4②16(2)－712.如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量OA，OB，OC的模分别为2，，4。(1)求|OA＋OB＋OC|；(2)若OC＝mOA＋nOB，求实数m，n的值。解析(1)由已知条件易知OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB＝－3，OA·OC＝|OA|·|OC|·cos∠AOC＝－4，OB·OC＝0，∴|OA＋OB＋OC|2＝OA2＋OB2＋OC2＋2(OA·OB＋OA·OC＋OB·OC)＝9，∴|OA＋OB＋OC|＝3。(2)由OC...
