【创新方案】2017届高考数学一轮复习第九章解析几何第十节热点专题——圆锥曲线中的热点问题课后作业理1．(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.2．(2015·陕西高考)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.3．(2016·太原模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，求的取值范围．4．(2016·兰州模拟)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|＝|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．5．(2015·云南师大附中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且抛物线y2＝4x的焦点恰好是椭圆C的一个焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点D(0,3)作直线l与椭圆C交于A，B两点，点N满足(O为原点)，求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．16.如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．(1)若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；(2)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明理由．答案1．解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明：由N是线段AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.又＝(－a，b)，从而有＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．由(1)可知a2＝5b2，所以＝0，故MN⊥AB.2．解：(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知得Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝.从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)·＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.3．解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，∴bc＝4， e＝，∴b＝2，a＝4，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2，0)， ∴AC⊥BD.①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得＝6＋8＝14.2②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，∴∴＝|x1－x2|＝，此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理，由可得＝，∴＝＋＝，令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，∴＝， t>1，∴0<≤，∴∈.由①②可知，的取值范围是.4．解：(1) 直线l的方程为x－y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即F1(－2,0)，∴c＝2，又e＝＝，∴a2＝6，b2＝a2－c2＝2，∴椭圆C1的方程为＋＝1.(2) 圆心C2(3,3)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝＝，又直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2，∴r＝＝＝2，故圆C2的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.设圆C2上存在点P(x，y)，满足|PF1|＝|PF2|，即|PF1|＝3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(－2,0)，F2(2，0)，则＝3，整理得2＋y2＝，它表示圆心是C，半径是的圆． |CC2|＝＝，故有2－<|CC2|<2＋，故圆C与圆C2相交，有两个公共点．∴圆C2上存在两个不同的点P，满足|PF1|＝|PF2|.5．解：(1)设椭圆的焦距为2c， 离心率为，∴2＝，∴3a2＝4c2，又点(，0)是抛物线的焦点，∴c2＝3.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2) ∴四边形OANB为平行四边形，当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l的斜率存在时，...
