【课时训练】平面向量的概念及线性运算一、选择题1．(2018湖北孝感统考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb【答案】D【解析】因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．2．(2018嘉兴一模)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．0【答案】D【解析】依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，故选D.3．(2018山东烟台期中)已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D【答案】B【解析】因为AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB，又AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线．4．(2018郑州检测)已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部【答案】C【解析】由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PC＝AB－PB＝AP，即PC＝AP－PA＝2AP，所以点P在线段AC上．5．(2018辽宁沈阳模拟)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A．－B．－C．D．【答案】D【解析】据向量运算的几何意义，画图如图所示．其中D、E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得CF＝CB，故λ＝，故选D.16．(2018宁德质检)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵O为BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2.7．(2018日照期末)在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝()A．－a＋bB．－a＋bC．a＋bD．－a＋b【答案】A【解析】由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，又AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM＝(a＋b)－＝－a＋b.二、填空题8．(2018滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.【答案】【解析】如图，取单位向量i，j，则a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j，∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j.∴∴∴x＋y＝.9．(2018银川二检)已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足AD＝AB－CA，△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．【答案】4【解析】由AD＝AB－CA，得5AD＝AB＋4AC，即AD－AB＝4(AC－AD)，即BD＝4DC，∴点D在边BC上，且|BD|＝4|DC|.故△ABD的面积是△ACD的面积的4倍，故△ABD的面积为4.10．(2018包头模拟)如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若AM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝________.2【答案】【解析】因为AM＝(AB＋BH)＝[AB＋x(AB－AC)]＝[(1＋x)AB－xAC]，又因为AM＝λAB＋μAC，所以1＋x＝2λ，2μ＝－x，所以λ＋μ＝.11．(2017浙江，15)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．【答案】42【解析】设a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2,0)，则a＋b＝(cosθ＋2，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a＋b|＝，|a－b|＝.则(|a＋b|＋|a－b|)2＝10＋2∈[16,20]，所以4≤|a＋b|＋|a－b|≤2.12．(2018济南一模)设G为△ABC的重心，且sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，则角B的大小为________．【答案】60°【解析】∵G是△ABC的重心，∴GA＋GB＋GC＝0，GA＝－(GB＋GC)，将其代入sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，得(sinB－sinA)GB＋(sinC－sinA)GC＝0.又GB，GC不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理，知b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.三、解答题13．(2018安徽合肥一中期末)设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．(1)【证明】由已知，得AB＝OB－OA＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，BC＝OC－OB＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故BC＝－2AB，又BC与AB有公共点B，所以A，B，C三点共线．(2)【解】AC＝AB＋BC＝3a－2b，CD＝2a－kb.因为A，C，D三点共线，所以AC＝λCD，即3a－2b＝2λa－kλb.所以所以所以k的值为.34
