函数综合测试题011、设函数成立的取值范围。解：由于是增函数，等价于......①（1）当时，，①式恒成立；（2）当时，，①式化为，即；（3）当时，，①式无解；综上，的取值范围是。2、设关于的方程的两根为，函数。（1）求的值；（2）证明是上的增函数；（3）试确定为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小。解：（1）（2）定义法；略（3）函数在上最大值，最小值，当且仅当时，取最小值4，此时3、讨论函数在区间上的单调性。解：设=，于是当当故当，函数在上是增函数；当，函数在为减函数。4、已知函数为常数）。（1）求函数的定义域；（2）若，试根据单调性定义确定函数的单调性；（3）若函数是增函数，求的取值范围。解：（1）由∵∴的定义域是。（2）若，则设，则故为增函数。（3）设①∵是增函数，∴②联立①、②知，∴。5、已知函数，且函数的图象关于直线对称，又。（1）求的值域；（2）是否存在实数，使命题和满足复合命题为真命题？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。解：（1）由，于是，由，此函数在是单调减函数，从而的值域为；（2）假定存在的实数满足题设，即和都成立又，∴，∴，由的值域为，则的定义域为，已证在上是减函数，则在也是减函数，由减函数的定义得解得，且≠，因此存在实数使得命题：且为真命题，且的取值范围为。6、已知函数是偶函数。（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。解：（1）由函数是偶函数可知：，即对一切恒成立，；（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根；令，则方程有且只有一个正根，①，不合题意；②或，若，不合题意；若；③一个正根与一个负根，即；综上：实数的取值范围是。7、已知函数。（1）求证：函数在内单调递增；（2）若，且关于的方程在上有解，求的取值范围。解：（1）证明：任取，则，，，，即函数在内单调递增。（2）解法1：由得，当时，，的取值范围是。解法2：解方程，得，，解得，的取值范围是。8、已知函数是奇函数。（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，函数的值域是，求实数与的值；（4）设函数，当时，存在最大实数，使得时，不等式恒成立，试确定与之间的关系。解：（1）。（2）由（1）及题设知：，设，当时，，当时，，即；当时，在上是减函数；同理当时，在上是增函数；（3）由题设知：函数的定义域为，①当时，有，由（1）及（2）题设知：在为增函数，由其值域为知，无解；②当时，有，由（1、2）题设知：在为减函数，由其值域为知，，得，；（4）由（1）题设知：，则函数的对称轴，∴，函数在上单调减，，是最大实数使得，恒有成立，，即。
