2.3.2平面与平面垂直的判定课后训练案巩固提升1.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角,可能为钝角的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°;直线和平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°;二面角的平面角θ的范围是0°≤θ≤180°.故可能为钝角的只有二面角的平面角.答案:B2.从二面角α-l-β内的一点P向两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是()A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定解析:如图,设平面PEF交l于点O,连接OE,OF. l⊥PE,l⊥PF,∴l⊥平面PEF.∴l⊥OF,l⊥OE.∴∠EOF为二面角α-l-β的平面角,其大小为120°.答案:B3.在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析:可画出对应图形(图略),则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A成立;由AE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面PAE,故B成立;又DF⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面PAE,故D成立.答案:C4.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有()A.1对B.2对C.3对D.5对解析: DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.答案:D5.导学号96640054若以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折后两条直角边的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图①,AD⊥DC,AD⊥DB,∴∠CDB=90°,设AB=AC=a,则CD=BD=a,∴CB=a,∴图②中△ABC是正三角形.∴∠CAB=60°.答案:C6.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有对.解析: AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD. BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.∴平面ADC⊥平面ABC.∴共有3对互相垂直的平面.答案:37.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.解析:如图作AO⊥β于点O,AC⊥l于点C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ==sin30°·sin60°=.答案:8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:连接AC,则AC⊥BD. PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD. PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等答案不唯一)9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=.解析:因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:110.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为.解析:取BD中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.∴∠AOC=90°.又∠BAD=∠BCD=90°,∴△BAD与△BCD均为直角三角形.∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,∴△ACD为等边三角形. E为CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.答案:90°11.如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,求二面角V-AB-C的大小.解:如图,作VO⊥平面ABCD,垂足为O,则VO⊥AB,取AB中点H,连接VH,OH,则VH⊥AB. VH∩VO=V,∴AB⊥平面VHO,∴AB⊥OH,∴∠VHO为二面角V-AB-C的平面角.易求VH2=VA2-AH2=()2-=4,∴VH=2,而OH=AB=1,∴∠VHO=60°.故二面角V-AB-C的大小是60°.12.如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,对角线AC,BD相交于点O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3.求证:(1)OM∥平面ABD;(2)平面ABC⊥平面MDO.证明:(1)由题意知,O为AC的中点, M为BC的中点,∴OM∥AB.又OM⊄平面ABD,BC⊂平面ABD,∴OM∥平面ABD.(2)由题意知,OM=OD=3,DM=3,∴OM2+OD2=DM2,∴∠DOM...
