考点42变量间的相关关系、统计案例一、选择题1.(2016·山东高考文科·T3)同(2016·山东高考理科·T3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B.60C.120D.140.【解题指南】看清频率分布直方图横纵坐标表示的含义,算出所求问题所占的频率,然后乘以样本容量,便可求解.【解析】选D.由频率分布直方图可知,每周自习时间不少于22.5小时的学生所占频率为2.5×(0.16+0.08+0.04)=0.7,所以每周自习时间不少于22.5小时的学生人数为200×0.7=140.二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T19)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式.(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值.(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?【解题指南】(1)分x≤19和x>19分别求解析式.(2)通过频率大小进行比较.(3)分别求出n=19,n=20时所需要的费用的平均数确定.【解析】(1)当x≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以y与x的函数解析式为y=(x∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4000×90+4500×10)=4050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T18)与(2016·全国卷3·理科·T18)相同(本小题满分12分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明.(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,≈2.646.参考公式:相关系数r=回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,【解析】(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由=1.331及(1)得≈0.103,≈1.331-0.103×4≈0.92.所以,y关于t的回归方程为=0.92+0.10t.将2016年对应的t=9代入回归方程得:=0.92+0.10×9=1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.4.(2016·四川高考理科·T16)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值.(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由.(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(...
