黑龙江省大庆外国语学校高中数学 第二章拓展题选粹 新人教A版必修2VIP免费

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章拓展题选粹1、已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，ABCD面PA，点E、F分别是棱AB、PD的中点，∠PDA=45°。把下列命题中正确命题的序号填在题后的横线上。（1）棱AB与PD所在的直线垂直。（2）平面PAB与平面PAD所成的二面角是2（3）直线AF//平面PEC；（4）平面PEC⊥平面PCD。其中正确命题的序号是___________________。FEPCBDA思路分析：根据已知条件画出图形（如图），进而由三垂线定理及垂直的判定与性质定理进行判断。解题过程：（1）平面PAABCD，ADAB，由三垂线定理知，结论正确。（2）由已知得BAD是平面PAB与平面PAD所成的二面角，故结论正确。（3）取PC的中点N，连接FN、EN，则易证四边形AFNE是平行四边形，故结论正确。（4）由∠PDA=45°，F是PD的中点知PDAF，又AFCDPAD平面CDPECENPCD,ENEN//AF,PCD,AF平面平面故又平面，故结论正确。即正确结论的序号是（1）（2）（3）（4）。解题后的思考：对于有关空间中的平行与垂直关系命题的判断，解题的关键依然是平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，同学们应熟练地掌握。这类问题在新课标高考命题中出现的频率很高。2、已知三棱锥ABCD中，90BCD，1BCCD，AB⊥平面BCD，60ADB，,EF分别是,ACAD上的动点，且(01)AEAFACAD，（Ⅰ）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD？1思路分析：（I）要证不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC，只要证明不论为何值，总有EF平面ABC即可。因为EF与CD平行与的取值无关。（II）根据BEF⊥平面ABC及平面BEF⊥平面ABCEFBE等条件，求出AEAC。解题过程：（Ⅰ）证明： AB平面BCD，∴ABCD， CDBC，且ABBCB，∴CD平面ABC，又 AEAFACAD（01），∴不论为何值，恒有//EFCD，∴EF平面ABC，EF平面BEF，∴不论为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ABC平面EF，故BEEF，又要求平面BEF平面ACD，∴BE平面ACD，∴BEAC， 1BCCD，90BCD，60ADB，∴2,2tan606BDAB，∴227ACABBC，由2ABAEAC得67AE，∴67AEAC，故当76时，平面BEF平面ACD．解题后的思考：证明面面垂直的关键是证明线面垂直，而证明线面垂直则要证明线线垂直，这些垂直关系的判定与性质定理在证明过程中会交替使用。证明面面垂直的方法有：①相交且成直二面角的两平面垂直；②一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直；③利用空间向量证明两个平面的法向量垂直。23、如图，在四棱锥中，平面，，平分，为的中点，（1）证明：平面（2）证明：平面（3）求直线与平面所成角的正切值【解】证明：设，连结EH，在中，因为AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又,所以.（2）证明：因为，，所以由（1）知，,故(3)解：由可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以为直线与平面PBD所成的角。由,在中，,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。点评：本题以四棱锥为依托，设计了一道集线面平行、线面垂直的证明线面角的计算为一体的综合解答题，全面考查考生对空间线面位置关系基础知识的掌握程度，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是知识考查与能力考查并重的基础性试题。4、如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）111ABCABC中，，D是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE。（I）证明平面ADE平面11ACCA（II）求直线AD和平面所成角的正弦值。【解】（I）如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC，又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE。AA1AE=A所以DE平面ACC1A1，又DE平面3DCABPEHDCABPEDB1C1BACA1EADE，故平面ADE平面ACC1A1。（2）如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1BC1D，A1BDF又C1DDF=D，所以A1B平面C1DF，而AB∥A1B，所以AB平面C1DF，又AB平面ABC，故平面ABC1平面C1DF。过点D做DH垂直C1F于点H，则DH平面ABC1。连接AH，则HAD是AD和平面...