第2课时利用导数研究不等式恒成立问题1
(2019南宁二中、柳州高中联考)已知函数f(x)=x-1-alnx(a0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增
(2)不妨设00,由(1)知f(x1)0,a>0,所以令f'(x)≥0,得x≤a-1a
所以当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,a-1a]
(2)令h(x)=(ax+1)e-x-x-1,则f(x)≤x+1对于任意的x∈[0,+∞)恒成立等价于h(x)≤0在x∈[0,+∞)恒成立
1(i)若a≤0,则当x≥0时,ax+1≤1,0h(0)=0,所以f(x)>x+1,不符合题意
综上可得,符合题意的a的取值范围是(-∞,2]
(2019陕西质量检测一)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x-1
(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)证明:f(x)≤g(x);(3)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1,+∞)均成立,求实数a的取值范围
解析(1)∵f'(x)=1x,∴f'(1)=1
又f(1)=0,∴切线的方程为y-f(1)=f'(1)(x-1),即所求切线的方程为y=x-1
(2)证明:设h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1,则h'(x)=1x-1,令h'(x)=0,得x=1,当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)单调递增极大值单调递减∴h(x)≤h(x)max=h(1)=0,即f(x)≤g(x)
2(3)易知对任意的x∈(1,+∞),f(x)>0,g(x)>0
(i)当a≥1时,f(x)≤g(x)≤ag(x);(ii)当a≤0时,f(x)>0,ag(x)≤0,∴不满足不等式f(x)≤ag(x);(iii)当00),则F'(x)=x-1x(x>0),∴当00,F(x)单调递增
3∴F(x)≥F(1)=1>0,∵a≥x02-
