高中数学一道习题的多种解法学法指导VIP免费

高中数学一道习题的多种解法□河南梁软红同一数学问题，从多方位、多角度、多层次考查，就会有多种解题思路和方法从而对知识的理解和掌握就会越来越深刻。下面以高中数学（人教版）第一册第43页第7题为例，说明处理根的分布问题的多种解法，以期对同学们的学习有所启发。题目：求二次函数31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件。解法1（运用求根公式）：要使方程31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件是00012xx，或00012xx（其中100121010012612kxk，,）解上述两个不等式组得0253k。故要使方程31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件是0253k。解法2（运用根与系数的关系）：要使方程31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件是0012xx，即10012030kk，解得0253k。故要使方程31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件是0253k。解法3（运用分类思想）：若方程31002xxk有两个不相等正实根，则有0001212xxxx若方程31002xxk有两个不相等负实根，则有xx120，但与xx12103矛盾，故不可能有两个不相等负实根。故要使方程31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件为0001212xxxx，即10012030kk，解得0253k。解法4（运用数形结合思想）：设fxxxk()3102，则抛物线开口向上且对称轴为x53。由题意知图象与x轴两个交点均在原点同侧，如图所示。用心爱心专心yOxx53于是有000f()，即10012000kfk()解得0253k故要使方程31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件是0253k。解法5（运用补集思想）：因方程31002xxk有两根异号或一根为0或两根相等或无实根的充要条件是0012xx或0，即10012030kk或100120k。解得k0或k253。利用补集思想，要使方程31002xxk有两个同号且不相等实根的充要条件是0253k。［练一练］1.方程xax2240的两根均大于1，求实数a的取值范围。2.若方程xkx230有一根在区间（1，3）内，求实数k的取值范围。3.关于x的方程223202kxxk的两根，一根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围。［答案］1.252a（提示：由xxaxx121224，，又()()()()xxxx1212110110可解得）2.26k（提示：利用数形结合由ff()()1030可解得）3.k4或k0（提示：因k0，于是分k0和k0讨论。由题意k0时有f()10；k0时有f()10。从而可知kf()10，即kkk()22320，可求解）用心爱心专心