4-2平面向量基本定理及坐标表示练习文[A组·基础达标练]1．[2015·长沙模拟]已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于()A.B.C．1D．2答案B解析a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)．又 (a＋λb)∥c，∴(1＋λ)×4＝2×3，即1＋λ＝，∴λ＝.2．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝C．k＝1D．k＝－1答案C解析若点A、B、C不能构成三角形，则向量AB，AC共线， AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.3．[2015·洛阳期末]若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为()A．(3，－6)B．(－3,6)C．(6，－3)D．(－6,3)答案A解析由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ<0)，而|b|＝3，则＝3，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，故选A.4．[2015·日照一模]在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案B解析如图， △DEF∽△BEA，∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，∴FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴GF＝b， AG＝AO＋OG＝AC＝a，∴AF＝AG＋GF＝a＋b.故选B.5．[2016·郑州一检]已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t，的最小值是()A．2B．2C．4D．4答案B解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由c·a＝c·b＝1，得c＝(1,1)，c＋ta＋b＝(1,1)＋t(1,0)＋(0,1)＝，＝＝≥2，当且仅当t＝1时等号成立．6．[2016·山西四校联考]在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析依题意，设BO＝λBC，其中1<λ<，则有AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC.又AO＝xAB＋(1－x)AC，且AB，AC不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.7．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.答案－解析由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以8．[2015·九江模拟]P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．答案{(－13，－23)}解析P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则得此时a＝b＝(－13，－23)．9．[2016·开封月考]平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)(c>0)，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则实数λ，μ的值分别是________．答案－1，解析 |OC|＝2，∴|OC|2＝1＋c2＝4，c>0，∴c＝. OC＝λOA＋μOB，∴(－1，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)，∴λ＝－1，μ＝.10．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．答案(3,3)解析解法一：由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，则AP＝OP－OA＝(4λ－4,4λ)．又AC＝OC－OA＝(－2,6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以OP＝OB＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．解法二：设点P(x，y)，则OP＝(x，y)，因为OB＝(4,4)，且OP与OB共线，所以＝，即x＝y.又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且AP与AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．11．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．解以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B，设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.12．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？...
