2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF－DB等于()A.FDB.FCC.FED.BE答案D解析由题图，知DB＝AD，则AF－DB＝AF－AD＝DF.由三角形中位线定理，知DF＝BE.故选D.2．[2017·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，则点A，B，C三点共线应满足()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1答案D解析若A，B，C三点共线，则AB＝kAC，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1.3．已知A、B、C三点不共线，且点O满足OA＋OB＋OC＝0，则下列结论正确的是()A.OA＝AB＋BCB.OA＝AB＋BCC.OA＝AB－BCD.OA＝－AB－BC答案D解析∵OA＋OB＋OC＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA＝－×(AB＋AC)＝－(AB＋AC)＝－(AB＋AB＋BC)＝－(2AB＋BC)＝－AB－BC.4．[2017·安徽六校联考]在平行四边形ABCD中，AB＝a，AC＝b，DE＝2EC，则BE＝()A．b－aB．b－aC．b－aD．b＋a答案C解析因为BE＝AE－AB＝AD＋DE－AB，所以BE＝BC＋AB－AB＝AC－AB＋AB－AB＝b－a，故选C.5．如图，在△ABC中，|BA|＝|BC|，延长CB到D，使AC⊥AD，若AD＝λAB＋μAC，则λ－μ的值是()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意可知，B是DC的中点，故AB＝(AC＋AD)，即AD＝2AB－AC，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.6．在△ABC中，D为边AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.答案解析因为AD＝2DB，所以AD＝AB＝(CB－CA)．在△ACD中，因为CD＝CA＋AD＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.答案2解析由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|AM|＝|BC|＝2.8．[2017·泉州四校联考]设e1，e2是不共线的向量，若AB＝e1－λe2，CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．答案2解析∵CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，∴BD＝CD－CB＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则AB与BD共线，存在μ∈R使得AB＝μBD，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得λ＝2.9．[2017·合肥模拟]已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，求实数λ的值．解由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k<0，所以λ<0,故λ＝－.10．已知|OA|＝1，|OB|＝，∠AOB＝90°，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，求的值．解如图所示，因为OB⊥OA，设|OC|＝2，过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，所以四边形ODCE是矩形，OC＝OD＋DC＝OD＋OE.因为|OC|＝2，∠COD＝30°，所以|DC|＝1，|OD|＝.又因为|OB|＝，|OA|＝1，所以OD＝OA，OE＝OB，OC＝OA＋OB，此时m＝，n＝，所以＝＝3.[B级知能提升](时间：20分钟)11．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A.AC＝AB＋ADB.BD＝AD－ABC.AO＝AB＋ADD.AE＝AB＋AD答案D解析由向量的加法和减法，知道A、B正确；由中点公式知道C正确，而△DNE∽△BNA，所以＝＝，所以AE＝AD＋DE＝AD＋AB，故D错误．12．[2014·福建高考]设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM答案D解析OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.故选D.13.如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案6解析以OC为对角线，OA，OB的方向为边的方向作平行四边形ODCE(图略)．由已知，得∠COD＝30°，∠COE＝∠OCD＝90°.在Rt△OCD中，|OC|＝2，|OD|＝＝4.在Rt△OCE中，|OE|＝|OC|tan30°＝2.OD＝4OA，OE＝2OB.因为OC＝OD＋OE＝4OA＋2OB，所以λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.14．设点O在△ABC内部，且有4OA＋OB＋OC＝0，求△ABC与△OBC的面积之比．解取BC的中点D，连接OD，则OB＋OC＝2OD，∵4OA＋OB＋OC＝0，∴4OA＝－(OB＋OC)＝－2OD，∴OA＝－OD.∴O、A、D三点共线，且|OD|＝2|OA|，∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2.
