专题突破练21直线与圆及圆锥曲线1.(节选)在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为.(1)建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.(2)略.2.(2018河北唐山一模,理20)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,且AP⊥AQ,求m的值.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=x-被圆M所截的弦长为,且圆心M在直线l的下方.(1)求圆M的方程;(2)设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC的面积S的最大值和最小值.5.(2018宁夏银川一中一模,理21)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4,求y0的值.6.(2018河北唐山三模,理20)已知点A(-2,0),点B(-1,0),点C(1,0),动圆O'与x轴相切于点A,过点B的直线l1与圆O'相切于点D,过点C的直线l2与圆O'相切于点E(D,E均不同于点A),且l1与l2交于点P,设点P的轨迹为曲线Γ.(1)证明:|PB|+|PC|为定值,并求Γ的方程;(2)设直线l1与Γ的另一个交点为Q,直线CD与Γ交于M,N两点,当O',D,C三点共线时,求四边形MPNQ的面积.参考答案专题突破练21直线与圆及圆锥曲线1.解(1)以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以焦距2c=|AB|=6,cosC===-1.又|CB|·|CA|≤2=a2,所以cosC≥1-,由题意得1-,∴a2=25.此时|PA|=|PB|,P点坐标为(0,±4).点C的轨迹方程为=1(y≠0).2.解(1)依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF得kAF·kBF==-1,又b2+c2=6,解得c=2,b=所以,椭圆Γ的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以kAM=-,又AM⊥BM,所以kBM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).y=(x-m)与=1联立得(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=|PM|·|QM|=1+|(x1-m)·(x2-m)|=1+|x1x2-m(x1+x2)+m2|=1+=,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ得|AM|2=|PM|·|QM|,所以=1,解得m=±1.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则kOB=±,kAB=,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解(1)设圆心M(a,0),由已知得圆心M到直线l:8x-6y-3=0的距离为,,又 圆心M在直线l的下方,∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1.故圆M的方程为(x-1)2+y2=1.(2)由题意设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.由方程组得C点的横坐标为x0= |AB|=t+6-t=6,∴S=6=,由于圆M与AC相切,所以1=,∴k1=;同理,k2=,∴k1-k2=,∴S==61-, -5≤t≤-2,∴-2≤t+3≤1,∴-8≤t2+6t+1≤-4,∴Smax=6×1+=,Smin=6×1+=,∴△ABC的面积S的最大值为,最小值为5.解(1)由e=,得3a2=4c2,再由c2=a2-b2,得a=2b,由题意可知,2a×2b=4,即ab=2.解方程组所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,由-2x1=得x1=,从而y1=设线段AB的中点为M,则M的坐标为.以下分两种情况:(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0).线段AB的垂直平分线为y轴,于是=(-2,-y0),=(2,-y0),=4,得y0=±2(2)当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-=-x+.令x=0,解得y0=-由=(-2,-y0),=(x1,y1-y0),=-2x1-y0(y1-y0)===4.整理得7k2=2,故k=±,所以y0=±综上y0=±2或y0=±6.解(1)由已知可得|PD|=|PE|,|BA|=|BD|,|CE|=|CA|,所以|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|PC|=|PE|+|PC|+|AB|=|CE|...
