第1讲平面向量的概念及线性运算1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一段圆弧C．两个孤立点D．一个圆解析：选D.由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．2．(2014·高考福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM解析：选D.因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.3．(2016·邯郸模拟)如图所示，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B.BEC.ADD.CF解析：选D.由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝BF－BC＝CF.4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b解析：选D.连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a.5．(2016·济南模拟)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝AC＋λAB(λ∈R)，则AD的长为()A．2B．3C．4D．5解析：选B．因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，AM＝AB，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.6．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．7．(2016·陕西省质检)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共1线，则λ＝________．解析：因为向量a与向量b共线，可得b＝ma(m≠0)，整理得e1＋λe2＝2me1－me2，则所以λ＝－.答案：－8．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．解析：由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－＝－a＋b.答案：－a＋b9．(2016·九江监测)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．解析：因为OA＋OC＝OB＋OD，所以OA－OB＝OD－OC，所以BA＝CD，BA綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形10．(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得答案：11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解：因为d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．12.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.2
