高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标35 基本不等式-人教版高三全册数学试题VIP免费

第35讲基本不等式[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．在解答题中也渗透基本不等式的应用．一、选择题1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(C)A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，取等号．2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(C)A．a＋b≥2B．＋>C．＋≥2D．a2＋b2>2ab解析∵ab＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号．3．若a≥0，b≥0，且a(a＋2b)＝4，则a＋b的最小值为(C)A．B．4C．2D．2解析∵a≥0，b≥0，∴a＋2b≥0，又∵a(a＋2b)＝4，∴4＝a(a＋2b)≤，当且仅当a＝a＋2b＝2时等号成立．∴(a＋b)2≥4，∴a＋b≥2.4．函数y＝^(x>1)的最小值是(A)A．2＋2B．2－2C．2D．2解析∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．5．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(B)A．1B．C．9D．16解析＋＝·＝×≥(5＋2)＝，当且仅当＝，b＋1＝2(a＋1)时取等号，故选B．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a0)图象上的点，则x＋y的最小值为__2__.解析因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立．8．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__.解析由已知得＝1，则＝＋＝·＝≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．19．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，＋的最大值为__2__.解析由≤得＋≤＝＝2，当且仅当x＝，y＝时取等号．三、解答题10．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设00，∴y＝(2x－3)＋＋＝－＋≤－·2＋＝－4＋＝－，当且仅当3－2x＝，即x＝－时，ymax＝－.∴函数y的最大值为－.(2)∵00，∴y＝＝≤＝，当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，ymax＝.11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解析(1)∵x>0，y>0,2x＋8y－xy＝0，∴xy＝2x＋8y≥2＝8，∴(－8)≥0，又≥0，∴≥8即xy≥64.当且仅当x＝4y即8y＋8y－4y2＝0时，即y＝4，x＝16时取等号，∴xy的最小值为64.(2)∵2x＋8y＝xy>0，∴＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝，即x＝2y即4y＋8y－2y2＝0时，即y＝6，x＝12时取等号，∴x＋y的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为xkm的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解析(1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝－1，所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400·＋(x2＋x)＝＋240x－160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x＜240.故y与x的函数关系是y＝＋240x－160(0＜x＜240)．(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4800－160＝9440，当且仅当＝240x，即x＝20时等号成立，此时k＝－1＝－1＝11.2故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．3