2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第10讲函数与方程实战演练理1．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(C)A．B．C．∪D．∪解析：要使函数f(x)在R上单调递减，只需解得≤a≤，因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点．如图所示．易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为－1，又≤－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x>0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x<0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝.而当3a≤2，即a≤时，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈∪.2．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(A)A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1解析：y＝cosx是偶函数，且存在零点；y＝sinx是奇函数；y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A．3．(2015·北京卷)设函数f(x)＝(1)若a＝1，则f(x)的最小值为－1.(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是∪[2，＋∞)．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝其大致图象如图所示．由图可知f(x)的最小值为－1.(2)当a≤0时，显然函数f(x)无零点；当0
1，由二次函数的性质可知，当x≥1时，f(x)有2个零点，则要使f(x)恰有2个零点，则需要f(x)在(－∞，1)上无零点，则2－a≤0，即a≥2.综上可知，满足条件的a的取值范围是∪[2，＋∞)．4．(2015·湖南卷)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．解析：当a<0时，若x∈(a，＋∞)，1则f(x)＝x2，当b∈(0，a2)时，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，分别是x1＝－，x2＝.当0≤a≤1时，f(x)的图象如图(1)所示．易知函数g(x)＝f(x)－b最多有一个零点．当a>1时，f(x)的图象如图(2)所示．图(1)图(2)当b∈(a2，a3]时，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，分别是x1＝，x2＝.综上，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．2
