课时作业(二十五)第25讲平面向量的数量积与平面向量应用举例时间/45分钟分值/100分基础热身1.[2017·贵阳二模]已知向量a,b满足|a+b|=2,a·b=2,则|a-b|=()A.8B.4C.2D.12.已知a=(x,y),b=(1,2),a在b方向上的投影是-,则()A.2x+y=-5B.2x+y=5C.x+2y=-5D.x+2y=53.[2017·四川内江五模]已知向量a=(1,-2),b=(1,1),m=a+b,n=a-λb,如果m⊥n,那么实数λ=()A.4B.3C.2D.14.[2017·山西五校四联]设向量a,b满足|a|=2,|b|=3,则(a-b)·(a+b)=.5.[2017·兰州一诊]已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=,则·=.能力提升6.线段AD,BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC,AC上的高,则·=()A.-B.C.-D.7.[2017·山西怀仁一中月考]已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b=(3,7),则a·b=()A.-12B.-20C.12D.208.[2017·张家口期末]已知向量a=(1,x-1),b=(y,2),若a⊥b,则xy的最大值为()A.-B.C.D.-9.[2017·济南二模]在△ABC中,AC=,AB=2,∠BAC=135°,D是BC的中点,M是AD上一点,且=2,则·的值是()A.-B.-C.-D.-10.[2017·唐山一模]已知a,b为单位向量,则|a+b|+|a-b|的最大值为()A.2B.+1C.3D.211.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.12.[2017·南京三模]在凸四边形ABCD中,BD=2,且·=0,(+)·(+)=5,则四边形ABCD的面积为.13.(15分)已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①|a+b|;②|4a-2b|.(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?14.(15分)[2017·德州一模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-.(1)求sinA的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.难点突破15.(5分)[2017·武汉四调]设a,b,c均为非零向量,则“a=b”是“a·c=b·c”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.(5分)[2017·长沙一中二模]在△ABC中,P为中线AM上的一个动点,若||=2,则·(+)的最小值为.课时作业(二十五)1.C[解析](a-b)2=(a+b)2-4a·b=(2)2-4×2=4,∴|a-b|=2.2.C[解析]依题意得=-,即=-,所以x+2y=-5.故选C.3.A[解析]∵a=(1,-2),b=(1,1),∴m=a+b=(2,-1),n=a-λb=(1-λ,-2-λ).∵m⊥n,∴m·n=2(1-λ)+(-1)(-2-λ)=0,解得λ=4.4.-5[解析](a-b)·(a+b)=a2-b2=4-9=-5.5.a2[解析]由菱形的性质得||=a,||=a,且,的夹角为,所以·=a2.6.A[解析]由等边三角形的性质得||=||=,<,>=120°,所以·=||||cos<,>=××=-.7.A[解析]因为a+b=(1,3),a-b=(3,7),所以|a+b|2-|a-b|2=4a·b=10-58=-48,则a·b=-12.8.B[解析]向量a=(1,x-1),b=(y,2),若a⊥b,则a·b=y+2(x-1)=0,所以2xy≤=1,即xy≤,当且仅当x=,y=1时,xy取得最大值,故选B.9.A[解析]由AC=,AB=2,∠BAC=135°,可得·=||·||·cos∠BAC=2×=-2.由D是BC的中点,可得=(+).=2,即有==(+),则·=(-)·(-)=·=--+·=-×4-×2-×2=-.10.D[解析]由向量的运算法则可知(a+b)⊥(a-b),(a+b)2+(a-b)2=4.设|a+b|=2cosθ,|a-b|=2sinθ,则|a+b|+|a-b|=2cosθ+2sinθ=2cos,所以|a+b|+|a-b|的最大值为2.11.2[解析]如图所示,由已知得F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2).=++2F1·F2=++2|F1||F2|cos60°=28,∴|F3|=2.12.3[解析]∵·=0,∴AC⊥BD.∵(+)·(+)=5,∴(+++)·(+++)=(+)·(+)=-=5,∴=+5=9,∴AC=3,∴四边形ABCD的面积S=×AC·BD=×3×2=3.13.解:由已知得,a·b=4×8×=-16.(1)①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以|a+b|=4.②因为|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,所以|4a-2b|=16.(2)因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,所以ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,解得k=-7,即k=-7时,(a+2b)⊥(ka-b).14.解:(1)由m·n=-,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,所以cosA=-.因为0
b,所以A>B,又B是△ABC一个内角,所以B=.由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去),故向量在方向上的投影为||cosB=ccosB=1×=.15.A[解析]∵a,b,c均为非零向量,a·c=b·c⇔(a-b)·c=0,∴a=b或(a-b)⊥c,∴“a=b”是“a·c=b·c”的充分不必要条件.故选A.16.-2[解析]由AM为△ABC的中线,可知M为BC的中点,则+=2,=+,则·(+)=(+)·2=2+2·=2||2-4||=2(||-1)2-2,当||=1时,·(+)的最小值为-2.
