高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本(均值)不等式及应用真题演练集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

2018版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本(均值)不等式及应用真题演练集训理新人教A版1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．答案：8解析：由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC，得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同时除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝2tanBtanC，令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tanBtanC>2，则tanBtanC>1，m>2.又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，故tanAtanBtanC的最小值为8.2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案：160解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．答案：－2解析：∵a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1.当且仅当＝且a<0，即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．1(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．[思路分析](1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{bn}满足bn＝，这是一个等差数列的前n项和与一个关于n的一次函数之比，数列{bn}极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解]因为a1，a2，a7成等比数列，所以a＝a1a7，即(a1＋d)2＝a1(a1＋6d)．又a1＝1，d≠0，所以d＝4.所以Sn＝na1＋d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n.(2)[证明]因为bn＝＝＝2n，所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列．所以Tn＝＝n2＋n.所以2Tn－9bn－1＋18＝2n2＋2n－18(n－1)＋18＝2n2－16n＋36＝2(n2－8n＋16)＋4＝2(n－4)2＋4≥4，当且仅当n＝4时等号成立．①＝＝＝≤＝4，当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．②又①②中等号不可能同时取到，所以2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．温馨提示本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2]已知h(x)＝ln(x＋1)－.(1)当a>0时，若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，求实数a的取值范围；(2)设x∈N且x>2，试证明：lnx≥＋＋＋…＋.(1)[解]h(x)＝ln(x＋1)－，则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，h′(x)＝－＝.①当01时，h(x)在x∈(0，a－1]上单调递减，h(x)在x∈[a－1，＋∞)上单调递增．若对任意的x≥0，恒有h(x)≥0，则h(x)的最小值h(a－1)＝lna＋1－a≥0恒成立．令m(a)＝lna＋1－a(a>1)，则m′(a)＝，m′(a)<0，m(a)在a∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a∈(1，＋∞)时，有m(a)